Integral dupla - Dúvida

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Integral dupla - Dúvida

Mensagempor Danilo » Sex Mar 20, 2015 00:35

Estou em dúvida no seguinte exercício. Segue o enunciado seguido de comentários/dúvidas.

Calcule \int_{}^{}\int_{}^{} \left({x}^{2}tgx\cdottgx+{y}^{3}+4 \right)dA, onde D (eu não consegui colocar D debaixo da integral) = {(x,y)/x²+y²\leq2}. ok.

Vi que a região D é uma circunferência de raio \sqrt[]{2}. Observando esse fato e colocando y em função de x eu tenho a seguinte integral:

\int_{-\sqrt[]{2}}^{\sqrt[]{2}} \int_{-\sqrt[]{2-{x}^{2}}}^{\sqrt[]{2-{x}^{2}}}{x}^{2}tgx+{y}^{3}+4 dydx

primeira dúvida: a integral que montei acima está correta?

Se está correta, fazendo o desenvolvimento, eu cheguei a:

\int_{-\sqrt[]{2}}^{\sqrt[]{2}}2\sqrt[]{2-{x}^{2}}{x}^{2}tgx+8\sqrt[]{2-{x}^{2}}dx

E a partir do último ponto eu não consigo mais terminar. Não sei como fazer integração por partes com um produto com 3 fatores... Eu ficaria imensamente grato se alguém puder me ajudar!
Danilo
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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