Derivada

por **Odle89** » Dom Dez 20, 2009 06:45

Bom dia pessoal!
Estou precisando de uma ajudinha pois tenho prova esta segunda e estou fazendo os exercícios de algumas provas antigas do professor porém não tenho as respostas das questões e, como ainda não estou dominando a matéria, gostaria que vocês confirmassem a resolução minha ou a corrigissem se for o caso.

tenho a função f(x) = $\:f(x)=ln \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) eu sei que a derivada deve ser do tipo f'(x) = u' / u$

Daí fiz a função se tornar $= ln\left(\frac{x+1}{x^2} \right)$

Segui então a substituição e aplicação da derivada da seguinte forma:
$f'(x)= \frac{\left(\frac{x+1}{2} \right)} {\left(\frac{x+1}{2} \right)}$ (derivada da fração superior sobre a fração inferior) e cheguei no seguinte resultado:
$\frac{1}{x+1}$

Está correta?
Qualquer dúvida no procedimento realizado por mim é só postar!
Abraços e desde já muito obrigado pela prontidão e parabéns ao fórum....

por **Molina** » Dom Dez 20, 2009 11:29

Bom dia, amigo.

Já tentou resolver através da derivada composta?

Chame $u=\frac{x+1}{x^2}$

Então o que precisamos derivar é y=ln(u)

Dessa forma, para calcular $\frac{dy}{dx}$ fica:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}*\frac{du}{dx}$

Conseguiu entender?

Estou um pouco atarefado, mas caso você não consiga eu tento resolver para você.

Abraços! :y:

por **Odle89** » Dom Dez 20, 2009 17:32

molina escreveu:Bom dia, amigo.

Já tentou resolver através da derivada composta?

Chame $u=\frac{x+1}{x^2}$

Então o que precisamos derivar é

Dessa forma, para calcular $\frac{dy}{dx}$ fica:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}*\frac{du}{dx}$

Conseguiu entender?

Estou um pouco atarefado, mas caso você não consiga eu tento resolver para você.

Boa tarde molina!
primeiramente obrigado pela atenção.

Pois foi dessa forma que eu resolvi e, pela tabela das derivadas diretas sei que a derivada de ln u = u'/u ...
O que eu tenho dúvida é se o resultado é esse pois fiz de uma outra maneira tb que acho que não é correta e obtive um resultado semelhante...
Queria saber o resultado pra poder saber a forma correta!

Obrigado novamente.

Abraços!

por **Elcioschin** » Seg Dez 21, 2009 18:37

Odle89

Tanto do seu jeito como do jeito do Molina dá certo.

Só que você cometeu um erro ao derivar:

f(x) = ln[(x + 1)/x²]

A derivada de f(x) = g(x)/h(x) é f '(x) = [h(x)*g'(x) - g(x)*h(x)]/[h(x)]² [e não f '(x) = g'(x)/h'(x)]

f '(u) = [(x²)*(x + 1)' - (x+ 1)(x²)']/(x²)² ----> f '(u) = [x²*1 - (x + 1)*(2x)]/(x²)² ----> f '(u) = (- x² - 2x)/(x²)² ----> f '(u) = - (x + 2)/x³

Agora continue:

f '(x) = u'/u -----> f '(x) = [-(x + 2)/x³]/[(x + 1)/x² ----> f '(x) = - (x + 2)/x*(x + 1)

por **Molina** » Seg Dez 21, 2009 23:07

Como eu disse, estou meio sem tempo nesse final do ano.

Então fica difícil resolver as questões, mas sempre tento ajudar da melhor forma.

Eu havia visto que a derivada estava errada, pois a integral do seu resultado nao retorna no f(x) inicial.

O Elcio já cantou a letra...

Abraços! :y:

por **Cleide** » Ter Dez 22, 2009 20:12

Olá pessoal! Eu gostaria de saber como demonstrar que se f é uma função par, então f'(x)= -f'(-x) e também que se f é uma função ímpar, então f'(x)=f'(-x). É URGENTE!!! Obrigada...

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