[Diferenciabilidade] Calculo e Gráfico

por **urso** » Ter Abr 22, 2014 11:08

Buenas galera!

Estou com duvida nesta questão, não sei se para resolver ela, não sei se preciso pegar os pontos em x e y para ver se é continua e se preciso derivar para encontrar a diferenciabilidade.

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Tenho mais 2 questões nesse estilo, qualquer coisa posto aqui para tirar as duvidas depois que vocês me derem uma luz nessa! Vlw! :-D

por **urso** » Ter Abr 22, 2014 15:58

Bom galera, acho que consegui resolver!

Eu fiz os limites e descobri:

f(1) = -2.1+4 = 2
f(1) = -2.1+5 = 3

Como os limites não são iguais, o limite bilateral não existe consequentemente não é diferenciavel em x=1.

Tudo certo até aqui, mas se a questão tivesse limite bilateral, o que eu faço? Derivo? Para isso trouxe a tona mais 2 questões, preciso de ajuda nelas!

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por **e8group** » Qua Abr 23, 2014 11:18

Polinômios definidos em um intervalo aberto são sempre diferenciáveis .

Considere p_1(x) = x^2 + 1 , x > 1

e

.

Como ambos polinômios estão definidos em intervalos abertos , logo eles são diferenciáveis .Assim , usando que diferenciabilidade implica continuidade já podemos afirmar que a função

é contínua em $\mathbb{R} \setminus\{1\}$ .Agora vamos mostrar que

é diferenciável em x = 1 e com isso concluir que f é contínua .

Por definição , $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{ f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$ desde que o limite exista . E quando o limite existe ? Quando os limites laterais de f são números reais e são iguais .

Assim ,

(i) $L_1 = \lim_{x \to 1^+} \frac{ f(x) - f(1)}{x-1}$ .Como estamos trabalhando com x > 1

então

.Segue

$L_1 = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 +1 - 2}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 -1}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} x+1 = 2$ .

(ii) $L_2 = \lim_{x \to 1^-} \frac{ f(x) - f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{ 2x - 2}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{ 2(x - 1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} 2 = 2$

$\therefore L_1 = L_2 \implies f$ é diferenciável em x = 1 .Só por curiosidade f é diferenciável em toda reta .

OBS.: Só para efeito de organização (vide regras do fórum ) evite postar mais de uma dúvida em um único tópico , uma dúvida para cada tópico . Além disso , anexe imagens somente se for necessário . Neste caso pode usar o LaTeX para digitar suas expressões .