Exercício com Teorema de Bolzano

por **fff** » Qua Fev 05, 2014 11:54

Bom dia, tenho dúvidas neste exercício que é para resolver com o Teorema de Bolzano:
Sejam f e g duas funções contínuas com domínio [a,b]. Sabe-se que f(a)<g(a) e f(b)>g(b). Prova, por via analítica que os gráficos de f e g se intersetam.

por **e8group** » Qua Fev 05, 2014 15:26

Dica :

Defina h = f - g

. Mostre que

é contínua e que $h(a) \cdot h(b) < 0$ e com isso conclua que existe $c \in [a,b]$ de modo que g(c) = 0

.

por **fff** » Qua Fev 05, 2014 16:57

Eu fiz assim:
h(x)=f(x)-g(x)

$h(a)=f(a)-g(a)\rightarrow h(a)<0$ porque f(a)<g(a)

.
$h(b)=f(b)-g(b)\rightarrow h(b)>0$ porque f(b)>g(b)

.
Como h é contínua (pois é a diferença de 2 funções contínuas) e h(a)*h(b)<0

, o corolário do Teorema de Bolzano permite afirmar que :
Existe $x\epsilon]a,b[:h(x)=0$ . Então o gráfico de f e g intersetam-se.

por **e8group** » Qui Fev 06, 2014 11:17

Está correto sua solução .

por **fff** » Qui Fev 06, 2014 17:19

Obrigada pela ajuda

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