limite

por **michelcosta** » Dom Nov 17, 2013 10:04

lim $\lim_{x->\frac{1}{2}}\frac{8{x}^{3}-1}{6{x}^{2}-5x+1}$

Código: Selecionar todos
[tex][/tex]

R:6
Fico muito agradecido a quem puder ajudar!!!

por **e8group** » Dom Nov 17, 2013 13:22

Dica :

Definamos

p(x) = 8x^3 - 1

e

, observe que 1/2

é uma raiz de q bem como de p [/tex] então podemos reescrever estes polinômios da seguinte forma : p(x) = (2x-1)M(x)

e

, onde

são polinômios (a ser determinador ) . Para encontrar estas funções, basta dividir p,q

por

.

O limite a ser calculado então se reduz a $\lim_{x\to 1/2} M(x)/N(x)$ . Tente concluir .

Obs.: É sempre importante ter em mente que se $\zeta_1 , \hdots , \zeta_n$ são raízes (reais ou complexas ) de um polinômio

de grau

definido por $f(x) = a_0 + \sum_{\lambda = 1}^{n} a_{\lambda} x^{\lambda}$ (para algumas constantes reais $a_0 , \hdots , \a_n$ com $a_n \neq 0$ ), então é possível reescrever

como produto de fatores lineares do tipo $(x-\zeta_i)$ , a saber

$f(x) = a_n \prod_{i=1}^{n} (x-\zeta_i)$ .

por **nakagumahissao** » Dom Nov 17, 2013 13:27

Como o denominador ficará zero quando substituirmos x por 1/2, precisaremos fatorar o denominador e o numerador

Usando bháskara e resolvendo a equação do segundo grau do denominador encontraremos x = 1/2 e x=1/3. Assim, o denominador ficará 6(x - 1/2)(x - 1/3).

Como o limite tende a 1/2, o melhor candidato para fatorarmos o numerador será (x-1/2) multiplicado por alguma coisa. Assim, dividindo o numerador por (x-1/2) obteremos:

$8{x}^{2} + 4x + 2$

Então teremos finalmente:

$\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\frac{8{x}^{3}-1}{6{x}^{2} - 5x + 1} = \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\frac{\left(x - \frac{1}{2} \right)\left(8{x}^{2} + 4x +2 \right)}{6 \left(x - \frac{1}{2} \right)\left(x - \frac{1}{3} \right)} =$

$= \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\frac{\left(8{x}^{2} + 4x +2 \right)}{6 \left(x - \frac{1}{3} \right)} = \frac{8\frac{1}{4} + 2 + 2}{6 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)} = \frac{1}{\frac{3 - 2}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 1 \times 6 = 6$

$\diamond$

por **michelcosta** » Seg Nov 18, 2013 18:36

nakagumahissao escreveu:Como o denominador ficará zero quando substituirmos x por 1/2, precisaremos fatorar o denominador e o numerador

Usando bháskara e resolvendo a equação do segundo grau do denominador encontraremos x = 1/2 e x=1/3. Assim, o denominador ficará 6(x - 1/2)(x - 1/3).

Como o limite tende a 1/2, o melhor candidato para fatorarmos o numerador será (x-1/2) multiplicado por alguma coisa. Assim, dividindo o numerador por (x-1/2) obteremos:

$8{x}^{2} + 4x + 2$

Então teremos finalmente:

$\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\frac{8{x}^{3}-1}{6{x}^{2} - 5x + 1} = \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\frac{\left(x - \frac{1}{2} \right)\left(8{x}^{2} + 4x +2 \right)}{6 \left(x - \frac{1}{2} \right)\left(x - \frac{1}{3} \right)} =$

$= \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\frac{\left(8{x}^{2} + 4x +2 \right)}{6 \left(x - \frac{1}{3} \right)} = \frac{8\frac{1}{4} + 2 + 2}{6 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)} = \frac{1}{\frac{3 - 2}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 1 \times 6 = 6$

$\diamond$

Muito obrigado!!!! Otima ajuda.

por **michelcosta** » Seg Nov 18, 2013 18:37

michelcosta escreveu:
nakagumahissao escreveu:Como o denominador ficará zero quando substituirmos x por 1/2, precisaremos fatorar o denominador e o numerador

Usando bháskara e resolvendo a equação do segundo grau do denominador encontraremos x = 1/2 e x=1/3. Assim, o denominador ficará 6(x - 1/2)(x - 1/3).

Como o limite tende a 1/2, o melhor candidato para fatorarmos o numerador será (x-1/2) multiplicado por alguma coisa. Assim, dividindo o numerador por (x-1/2) obteremos:

$8{x}^{2} + 4x + 2$

Então teremos finalmente:

$\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\frac{8{x}^{3}-1}{6{x}^{2} - 5x + 1} = \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\frac{\left(x - \frac{1}{2} \right)\left(8{x}^{2} + 4x +2 \right)}{6 \left(x - \frac{1}{2} \right)\left(x - \frac{1}{3} \right)} =$

$= \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\frac{\left(8{x}^{2} + 4x +2 \right)}{6 \left(x - \frac{1}{3} \right)} = \frac{8\frac{1}{4} + 2 + 2}{6 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)} = \frac{1}{\frac{3 - 2}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 1 \times 6 = 6$

$\diamond$

Muito obrigado!!!! Otima ajuda.

Perfeita explicação ajudou muito mesmo, muitíssimo obrigado.

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