[Interpretação da notação da função derivada]

por **Jhenrique** » Qui Jul 26, 2012 20:27

saudações!

1) Não estou entendendo como interpretar corretamente a notação da função derivada.
Poisbem, considerando as seguintes premissas:
f'(x) = d/dx(x) = [f(x+h)-f(x)]/h
o que é colocado no "(x)" deve ser colocado na definição de derivada também...
logicamente me parece um pouco estranho... porque deriva-se uma função (f(x) = x²-3x+2, por ex.), então a função f(x) é que deveria ir dentro da diferenciação: "f'(f(x))"... não é assim que ocorre mas é compreensível... o que ocrorre na verdade são umas transformações com a função f(x) e resultado será nomeada de f'(x). ok...

Mas nas regras operatórias básicas de diferenciação tem-se que: [f(x)+g(x)]' = f'(x)+g'(x)... o que me é ainda mais logicamente estranho, porque em [f(x)+g(x)]', duas funções, f(x) e g(x), estão sendo derivadas pela notação [...]'. Trocando de notação para, vamos ver... f'(...) não, muito estranho, então para d/dx(...), parece razoável, afinal as duas funções estão sendo derivadas!
vejamos:
d/dx[f(x)+g(x)] = d/dx[f(x)]+d/dx[g(x)]
parece logicamente melhor... mas, f'(x) = d/dx(x), então é só trocar d/dx(x) por f'(x) que fica estranho de novo...
enfim... não consegui entender o significa de (...)'

2) Na notação f'(x), o que se coloca no x é o que vai pra definição de derivada no outro lado da igualdade, certo. Mas na derivada da soma [f(x)+g(x)]' o que é substituido na definição [f(x+h)-f(x)]/h não é o x, como de costume, mas sim o f e o g! Ficando então: {[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}/2. Tomando a parte final da equação anterior [f(x)+g(x)], ela é a que mais se aproxima da derivada da soma [f(x)+g(x)]'. Mas na definição original, esta parte final é -[f(x)]. Portanto, é como se [f(x)+g(x)] fosse igual a [f(x)], e por isso foi substituida na parte final da definição e nela toda.
O FATO é que se deriva [f(x)+g(x)]' e na definição de derivada, o que aparece no lugar de f(x) é o f(x) somado com o g(x)...
OU SEJA, houve uma substituição de f para g+f... mas em funções APENAS substituimos o (x)... a não ser que no lugar do (x) apareça uma coisa do tipo (f(x)+g(x))... isto lebra d/dx( f(x)+g(x) ) que lembra f'( f(x)+g(x) )...

enfim, tudo isso me lembra meus "professores doutores" "ensinando" trinometria sem explicar o significado das funções no círculo trigonométrico... (e eu ainda tenho mais dúvidas com notações do tipo: d/dx(u+v) = d/dx(u) + d/dx(v)...)

é um textin grandin... kkkkk... mas não passa de definições e interpretações...

obrigado a quem me ajudar!

José

por **Russman** » Qui Jul 26, 2012 22:56

A Diferenciação é uma operação linear que efetua-se sobre funções . Isto é, se representarmos por

esta operação, a,b

números reais quaisquer e f(x),g(x)

funções da variável x, temos

D[af(x)+bg(x)] = aD[f(x)] + bD[g(x)]

.

Ou seja, as constantes podem ir "para fora" da derivação e a derivada de uma soma é a soma das derivadas.

Exemplo:

D[3x+6x^2] = 3 D[x] + 6D[x^2]

.

Provamos este fato pela definição de derivação, ou uma das possíveis definições:

$D[f(x)]=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

Veja que o fato de usarmos $D[f(x)] = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x) = f'(x)$ é apenas uma convensão de NOTAÇÃO.

A demonstração de linearidade :

: CodeCogsEqn.gif (7.33 KiB) Exibido 4054 vezes

por **MarceloFantini** » Qui Jul 26, 2012 23:44

1) É importante perceber que f'(x)

é apenas uma maneira mais concisa de escrever [f(x)]'

, significando a derivada da função

. Ou seja, $\frac{\textrm{d} ...}{\textrm{d}x} = [...]'$ . Você não está sabendo ligar com a notação: note que se escrevemos f'(x)

, então na notação de Leibniz isto se escreve $\frac{\textrm{d} f(x)}{\textrm{d}x}$ ou $\frac{\textrm{d}f}{\textrm{d}x}$ . Também não sei o que quer dizer com $\frac{\textrm{d} }{\textrm{d}x} (x)$ , por favor use LaTeX para os símbolos, facilitando o entendimento de todos.

2) Lembre-se que eu disse que f'(x) = [f(x)]'

. Portanto, se h = f+g

, então

. Não é a função

que foi substituída, ela é apenas um símbolo para representar uma função qualquer. Parece que você não está conseguindo compreender que vale para qualquer tipo de função, como por exemplo funções que são somas de outras.

por **Jhenrique** » Sáb Jul 28, 2012 19:11

Os esclarecimentos de vocês foram importantes! :y:

E esse passo a passo aqui foi imprescindível!!!
Imagem

Se vc não tivesse me mostrado isso, eu iria boiar se eu precisasse fazer a distributiva de A e B nas funções f(x) e g(x) dentro da definição de derivada, agora eu sei! :y:

Aproveitando o assunto do tópico...
tenho outra dúvida relacionada...

sendo:
k = constante
u = f(x)
v = g(x)

então porque se procede assim com estes dois termos
[u·v]' = [u]'·v+u·[v]'
mas com estes dois termos é assim
[k·u]' = k·[u]'
?

obg,

por **LuizAquino** » Dom Jul 29, 2012 11:19

Jhenrique escreveu:Aproveitando o assunto do tópico...
tenho outra dúvida relacionada...

sendo:
k = constante
u = f(x)
v = g(x)

então porque se procede assim com estes dois termos
Código: Selecionar todos
[u·v]' = [u]'·v+u·[v]'

mas com estes dois termos é assim
Código: Selecionar todos
[k·u]' = k·[u]'

A segunda identidade é apenas um caso particular da primeira. Basta lembrar que se f(x) = k, então f'(x) = 0. Ou seja, "a derivada de uma constante é zero".

Observação

Assim como consta nas Regras deste Fórum, por favor poste apenas um exercício/dúvida por tópico.

por **Jhenrique** » Dom Jul 29, 2012 13:49

LuizAquino escreveu:A segunda identidade é apenas um caso particular da primeira. Basta lembrar que se f(x) = k, então f'(x) = 0. Ou seja, "a derivada de uma constante é zero".

humm... vdd... eu devia ter observado isso :S

LuizAquino escreveu:Observação

Assim como consta nas Regras deste Fórum, por favor poste apenas um exercício/dúvida por tópico.

Ok! Mas as minhas dúvidas relacionadas com a interpretação da função derivada não cessaram...

MarceloFantini escreveu:1) É importante perceber que é apenas uma maneira mais concisa de escrever , significando a derivada da função . Ou seja, $\frac{\textrm{d} ...}{\textrm{d}x} = [...]'$ . Você não está sabendo ligar com a notação: note que se escrevemos , então na notação de Leibniz isto se escreve $\frac{\textrm{d} f(x)}{\textrm{d}x}$ ou $\frac{\textrm{d}f}{\textrm{d}x}$ . Também não sei o que quer dizer com $\frac{\textrm{d} }{\textrm{d}x} (x)$ , por favor use LaTeX para os símbolos, facilitando o entendimento de todos.

2) Lembre-se que eu disse que . Portanto, se , então . Não é a função que foi substituída, ela é apenas um símbolo para representar uma função qualquer. Parece que você não está conseguindo compreender que vale para qualquer tipo de função, como por exemplo funções que são somas de outras.

AHAAA!!!
Se f'(x) é uma maneria concisa de escrever [f(x)]', então alguma coisa não tá certa... vejam:

A definição de derivada da função inversa é:
[f?¹(x)]' = 1/f'(f?¹(x))

mas aplicando que: f'(x) = [f(x)]'
então tem-se que:
[f?¹(x)]' = 1/[f(f?¹(x))]'

e [f(f?¹(x))]' é igual a [f(f?¹(x))]'·[(f?¹(x)]'... e [f(f?¹(x))]' é igual a [f(f?¹(x))]'·[(f?¹(x)]'... e [f(f?¹(x))]' é igual a [f(f?¹(x))]'·[(f?¹(x)]'.........

ou seja... [f(x)]' não pode ser igual a f'(x)... pq senão ocorre esse efeito infinto acima!

por **MarceloFantini** » Dom Jul 29, 2012 13:55

Você está se prendendo demais a notação.

por **Russman** » Seg Jul 30, 2012 00:39

Você está se prendendo demais a notação. (2)

por **Jhenrique** » Seg Jul 30, 2012 03:34

ué... mas eu não quero errar numa conta de calculo ou numa conta de engenharia por causa duma notação...
então é isso mesmo?
pra esta última dúvida minha não há explicação?

por **Russman** » Seg Jul 30, 2012 04:15

A liberdade de notação existe exatamente para ser aplicada diferentes notações para diferentes casos, de acordo com a conveniência!

Veja que a notação f'(x)

ou

são convencionadas a significarem a derivada da função

com relação a seu argumento. Isto é,
se

é uma função da variável

então , para lembrar dessa dependência, escrevemos f = f(x)

e denotamos sua derivada como f'(x)

.

Agora, por exemplo, a função f=f(x,y)

não pode seguir essa convenção uma vez que ela possui DUAS variáveis. Assim, somos obrigados a expressar suas derivadas respectivamente a cada variável pela notação conhecida como de Leibniz: $\frac{\mathrm{d} f(x,y)}{\mathrm{d} y}$ ou $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} y}f(x,y)$ , onde nessa última a notação quer significar que a derivação é uma operação sendo aplicada na função e não um quociente como na primeira.

O fato é que não existe diferença entre

,

e

. Elas existem para ser aplicadas , cada qual, de modo a simlificar a notação de solução do problema. Se sua notação esta dando problema para alguma particularidade então use outra!!!