[AJUDA] Derivada: Ponto Máx, Minimo, Inflexão e Assíntota

por **Mateus Leao** » Qua Mai 16, 2012 13:03

Boa tarde,
O enunciado pede que seja calculado os pontos máximos (ou mínimos), de inflexão e assíntota.
A função é: y = 2x/x²+1
Consegui calcular o limite, sendo que há assíntota em x=0 na assíntota horizontal, mas não há no vertical.
Travei no cálculo do ponto máximo, mínimo e inflexão, visto que não tenho experiência no cálculo da 2 derivada com eficácia. Gostaria de ajuda. Obrigado.

por **LuizAquino** » Sex Mai 18, 2012 18:55

Mateus Leao escreveu:O enunciado pede que seja calculado os pontos máximos (ou mínimos), de inflexão e assíntota.
A função é: y = 2x/x²+1
Consegui calcular o limite, sendo que há assíntota em x=0 na assíntota horizontal, mas não há no vertical.
Travei no cálculo do ponto máximo, mínimo e inflexão, visto que não tenho experiência no cálculo da 2 derivada com eficácia.

Primeiro, note que y = 2x/x² + 1 é equivalente a escrever:

$y = \frac{2x}{x^2} + 1$

Entretanto, ao que parece você deseja:

$y = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Nesse caso, você deveria ter escrito algo como y = 2x/(x² + 1). Note a importância do uso adequado dos parênteses!

Eu aproveito ainda para recomendar que você use o LaTeX em suas mensagens. Vide o tópico:

DICA: Escrevendo Fórmulas com LaTeX via BBCode
viewtopic.php?f=9&t=74

Em relação ao exercício, antes de calcular a segunda derivada, você precisa calcular a primeira. Aplicando então a regra do quociente, você já deve saber que:

$y^\prime = \frac{-2x^2 + 2}{\left(x^2 + 1\right)^2}$

Aplicando novamente a regra do quociente, temos que:

$y^{\prime\prime} = \frac{\left(-2x^2 + 2\right)^\prime\left(x^2 + 1\right)^2 - \left(-2x^2 + 2\right)\left[\left(x^2 + 1\right)^2\right]^\prime}{\left[\left(x^2 + 1\right)^2\right]^2}$

$y^{\prime\prime} = \frac{-4x\left(x^2 + 1\right)^2 - \left(-2x^2 + 2\right)\left[2\left(x^2 + 1\right)(2x)\right]}{\left(x^2 + 1\right)^4}$

Note que para calcular $\left[\left(x^2 + 1\right)^2\right]^\prime$ foi necessário aplicar a regra da cadeia.

Continuando a resolução, temos que:

$y^{\prime\prime} = \frac{-4x\left(x^2 + 1\right)^2 - \left[-2\left(x^2 - 1\right)\right]\left[4x\left(x^2 + 1\right)\right]}{\left(x^2 + 1\right)^4}$

$y^{\prime\prime} = \frac{-4x\left(x^2 + 1\right)^2 + 8x\left(x^2 - 1\right)\left(x^2 + 1\right)}{\left(x^2 + 1\right)^4}$

$y^{\prime\prime} = \frac{\left[-4x\left(x^2 + 1\right) + 8x\left(x^2 - 1\right)\right]\left(x^2 + 1\right)}{\left(x^2 + 1\right)^4}$

$y^{\prime\prime} = \frac{4x^3 - 12x}{\left(x^2 + 1\right)^3}$

Agora tente continuar o exercício.

por **ricardosanto** » Sex Mai 18, 2012 19:36

uma dica para a derivada da 2º eh você observar a função (y=x²), o gráfico todo mundo sabe (eh uma parábola para cima e toca o ponto 0*0)
sim mas e dai?
e dai que:
a derivada 1º de x² = 2x (regra do tombo)
a derivada 2º = 2 certo?
tiramos algumas propriedades a seguir:
sempre que a derivada da segunda for positiva o gráfico tem ponto de mínimo e a concavidade será para cima.
www.wolframalpha.com
este site eh muito bom.
valew Luiz Aquino, vc eh meu mestre.