[Limites] Limites em R2

por **NF17** » Qua Dez 28, 2011 16:27

Olá, vai ser o meu primeiro tópico neste fórum.

Tenho andado a estudar e surgiu esta dúvida. Como não estava a encontrar solução satisfatória em lado nenhum para o meu problema, pensei que vocês me pudessem ajudar.

O enunciado é o seguinte:

Mostrar, a partir da definição, que

$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} (x^2+y^2) sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}}\right) = 0$

A minha resolução começou por ser esta, no entanto estou bloqueado a meio do processo e não sei como passar daí.

$\forall\:\delta>0\:\exists\varepsilon>0:0<\left|\right|(x,y)\:-\:(0,0)\left| \right|<\varepsilon\Rightarrow\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right)\right|<\delta$

$\forall\:\delta>0\:\exists\varepsilon>0:0<\sqrt[]{x^2+y^2}<\varepsilon\Rightarrow\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right)\right|<\delta$

Aqui fiquei bloqueado porque não sei como resolver tendo um seno na função.

$\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right) \right|=(x^2+y^2)\left|sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right) \right|$

por **Renato_RJ** » Qua Dez 28, 2011 23:52

Boa noite !!

Repare que a função seno é uma função limitada (tudo bem que o argumento tenderá ao infinito quando o par x,y tender a zero, mas mesmo assim, a imagem da função é limitada no intervalo [-1,1] ) enquanto que a função x^2+y^2

tende a zero no limite, logo a função total vai tender a zero quando o par x,y tender a zero...

Acho que é isso..

Abraços,
Renato.

por **fraol** » Qui Dez 29, 2011 21:14

Olá NF17 e Renato_RJ,

Aqui vai um esboço de uma prova formal.

Provar o limite dado é afirmar que: Dado $\epsilon > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que se $\left| \left( x^2 + y^2 \right) sen{\left( \frac{1}{\sqrt(x^2 + y^2)} \right)} \right| < \epsilon$ então $|| (x,y) || < \delta$ .

Sabemos que $|| (x,y) || = \sqrt(x^2+y^2)$ . Então vamos lá:

Seja $\epsilon > 0$ ; tomemos $\delta = {-------}$ ( a preencher).

$\left| \left( x^2 + y^2 \right) sen{\left( \frac{1}{\sqrt(x^2 + y^2)} \right)} \right|$

$= \left| \left( x^2 + y^2 \right) \right| \left| sen{\left( \frac{1}{\sqrt(x^2 + y^2)} \right)} \right|$

Como $0 <= \left| sen{\left( \frac{1}{\sqrt(x^2 + y^2)} \right)} \right| <= 1$ , então devemos ter

$= \left| \left( x^2 + y^2 \right) \right| < \epsilon \iff \left( \sqrt(x^2 + y^2 \right) < \sqrt(\epsilon)$ .

Assim podemos preencher a lacuna acima com $\delta = \sqrt(\epsilon)$ e concluímos que:

Seja $\epsilon > 0$ ; tomemos $\delta = \sqrt(\epsilon)$ então

$\left| \left( x^2 + y^2 \right) sen{\left( \frac{1}{\sqrt(x^2 + y^2)} \right)} \right| < \epsilon$ sempre que $0 < || (x,y) || = \sqrt(x^2+y^2) < \delta$ ou seja:

$lim_{(x,y)->(0,0)} \left| \left( x^2 + y^2 \right) sen{\left( \frac{1}{\sqrt(x^2 + y^2)} \right)} \right| = 0$ .

E então o que vocês acham? Críticas, sugestões ...

Abç,
Francisco.

por **Renato_RJ** » Qui Dez 29, 2011 22:53

Gostei, me parece correto... Eu parti logo para o Teorema do Confronto, acho mais tranquilo de fazer esse tipo de exercício...

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Renato.

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