ARCS escreveu:Como calcular esse limite algebricamente sem usar as regras de L'Hôpital?

Uma opção é usar o desenvolvimento em
Série de Taylor para

em torno de a=0:

Substituindo no limite:


Note que todas as parcelas dessa soma, exceto a primeira, tem o formato

, sendo k>=1. Como x tende a zero, cada parcela dessa tenderá a zero, portanto:

Aproveito para dizer que alguns limites só são apresentados após o estudo da Regra de L'Hôpital. Ou ainda, após o estudo da expensão em Série de Taylor. Isso não é feito à-toa.
Agora, uma curiosidade: de onde você retirou esse exercício?
Se foi de um livro, ele apareceu antes ou depois do estudo das Regras de L'Hopital ou da Série de Taylor? Se foi de uma lista de exercícios, os conteúdos citados anteriormente já tinham sido vistos?