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Limite

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Mensagempor ARCS » Qui Fev 17, 2011 22:50

Como calcular esse limite algebricamente sem usar as regras de L'Hôpital?

\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1-x}{x^2}

Se aplicarmos a regra de L'Hôpital duas vezes, teremos:

\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x-1}{2x} = \lim_{x\rightarrow0} \frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}
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Re: Limite

Mensagempor LuizAquino » Sex Fev 18, 2011 22:50

ARCS escreveu:Como calcular esse limite algebricamente sem usar as regras de L'Hôpital?
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}


Uma opção é usar o desenvolvimento em Série de Taylor para e^x em torno de a=0:

e^x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \ldots

Substituindo no limite:

\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \ldots \right)-(1+x)}{x^2}

\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \frac{x^2}{24} + \frac{x^3}{120} + \ldots

Note que todas as parcelas dessa soma, exceto a primeira, tem o formato \frac{x^k}{(k+2)!}, sendo k>=1. Como x tende a zero, cada parcela dessa tenderá a zero, portanto:
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2} = \frac{1}{2}

Aproveito para dizer que alguns limites só são apresentados após o estudo da Regra de L'Hôpital. Ou ainda, após o estudo da expensão em Série de Taylor. Isso não é feito à-toa.

Agora, uma curiosidade: de onde você retirou esse exercício?

Se foi de um livro, ele apareceu antes ou depois do estudo das Regras de L'Hopital ou da Série de Taylor? Se foi de uma lista de exercícios, os conteúdos citados anteriormente já tinham sido vistos?
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Re: Limite

Mensagempor ARCS » Dom Fev 20, 2011 19:16

É uma questão dos tópicos iniciais de Limites e Derivadas do livro do James Stewart. Já estudei L'hopital, mas fiquei curioso quanto à existência de outras formas de resolução.

Obrigado
ARCS
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Re: Limite

Mensagempor LuizAquino » Dom Fev 20, 2011 19:24

ARCS escreveu:É uma questão dos tópicos iniciais de Limites e Derivadas do livro do James Stewart.

Por favor, se possível forneça a referência completa. Informe qual a edição, o volume e a página.
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}