Cosseno (FUVEST)

por **Ananda** » Sex Mar 14, 2008 22:37

Boa noite!

Eis o exercício: No cubo de aresta 1, considere as arestas AC e BC e o ponto médio M, de AC.
a) Determine o cosseno do ângulo BÂD.
b) Determine o cosseno do ângulo BMD. (M).
c) Qual dos ângulos BÂD ou BMd (M) é maior? Justifique.

Bom, o primeiro eu fiz assim:
a)cateto adjacente = AB = diagonal do quadrado = $\sqrt[]{2}$
hipotenusa = AD = diagonal do cubo = $\sqrt[]{3}$
Logo, cosseno = $\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3}}=\frac{\sqrt[]{6}}{3}$

Acredito que esteja certo já que a resposta é igual a do livro.

b) Estou em dúvida. Olho, olho para o desenho, mas não vejo saída. Em um momento, veio-me à mente considerar que os triângulos CDM e ABM são retângulos. Com isso, cheguei a $\frac{\sqrt[]{7}}{3}$ . Mas a resposta do livro é: $\frac{7}{9}$ .

Vou colocar as contas que fiz:
2 = MB^2

+0,25
MB= $\frac{\sqrt[]{7}}{2}$

MD^2

=2+0,25
MD=1,5

cosseno = $\frac{\sqrt[]{7}}{2}.\frac{2}{3}=\frac{\sqrt[]{7}}{3}$

O que errei?

Bom, a letra c depende das respostas anteriores.
Grata desde já pela atenção!
Bom final de semana!

por **admin** » Sex Mar 14, 2008 23:58

Olá, Ananda!

O item (a) está certo sim.

O item (b) você errou por pouco. Há dois erros.
1) Os triângulos ABM e CDM são de fato retângulos, mas nos pontos A e C, respectivamente.

Refaça a conta para encontrar MB.
E como M é ponto médio de AC, segue que o triângulo BMD é isósceles.
Logo, MB = MD.

2) O triângulo BMD não é retângulo, ou seja, nele você não poderá aplicar a relação de cateto adjacente sobre hipotenusa.
Para encontrar o cosseno neste caso, você precisará da lei dos cossenos que relaciona dois lados adjacentes ao ângulo com o lado oposto.
Pense como uma extensão do teorema de Pitágoras para um triângulo qualquer.

Depois, com os dois valores dos cossenos, identifique e justifique qual ângulo é maior.
Não há apenas uma forma de justificar.
Se tiver dúvida na justificativa ou em "visualizar" qual ângulo é maior, comente comigo e discutimos.

Espero ter ajudado!
Bons estudos e bom final de semana!

por **Ananda** » Sáb Mar 15, 2008 13:21

Grata, Fábio!
Sobre a justificativa farei com relação ao fato de que quanto maior o ângulo, menor o cosseno.
Excelente final de semana!

por **admin** » Sáb Mar 15, 2008 20:17

Olá.
Apenas cuidado com esta justificativa, não pode ser generalizada.
No intervalo $[0, \pi]$ está correta, mas em $[\pi, 2\pi]$ quanto maior o ângulo, maior o cosseno.

Até mais.