geoemtria espacial

por **silvia fillet** » Sex Fev 17, 2012 14:13

Uma pirâmide de base pentagonal regular é seccionada por um plano paralelo à sua base e que passa pelos pontos médios de suas arestas, ficando assim determinada uma nova pirâmide pentagonal regular, com altura igual à metade da altura da pirâmide inicial.

a)Determine as áreas das bases das pirâmides inicial e nova e a razão entre estas áreas

b)Determine também a razão entre seus volumes.

por **MarceloFantini** » Sex Fev 17, 2012 14:21

Quais foram suas tentativas?

por **Rosana Vieira** » Ter Fev 21, 2012 11:22

Bom Marcelo para o item chegei nesta resolução
b) v1/v2 = 1/3.A1.h / 1/3.A1.h/2 = 32 sem^2.36º

por **MarceloFantini** » Ter Fev 21, 2012 12:20

Sejam

e

as alturas maior e menor respectivamente. Então $h = \frac{H}{2}$ . A razão entre os volumes será o cubo da razão entre os segmentos, logo $\frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{h}{H} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$ onde V_2

é o volume da pirâmide menor e V_1

da pirâmide original. O raciocínio é análogo para as áreas.

Como você chegou nesta resolução? Porque suas contas não fazem sentido, o valor $32 \, \textrm{sen}^2 \, 36^{\circ}$ parece quase um chute.

por **Rosana Vieira** » Ter Fev 21, 2012 16:46

MarceloFantini escreveu:Sejam e as alturas maior e menor respectivamente. Então $h = \frac{H}{2}$ . A razão entre os volumes será o cubo da razão entre os segmentos, logo $\frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{h}{H} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$ onde é o volume da pirâmide menor e da pirâmide original. O raciocínio é análogo para as áreas.

Como você chegou nesta resolução? Porque suas contas não fazem sentido, o valor $32 \, \textrm{sen}^2 \, 36^{\circ}$ parece quase um chute.

Obrigado Marcelo pela explicação.

por **MickaelSantos** » Ter Fev 21, 2012 20:20

Primeiro eu dividi o pentágono da base em 5 triângulos e, chamando cada lado do pentágono de l, calculei a altura de cada triângulo assim:
$tg 36=\frac{\frac{l}{2}}{h}$ , onde l é o lado do triângulo e h a altura dele.

Desenvolvendo a expressão, cheguei em:
$0,7265=\frac{a}{2h} \Leftrightarrow 1,453h=a \Leftrightarrow h=\frac{a}{1,453}$

Depois calculei a área do triângulo e multipliquei por 5, que é a quantidade de triângulos do pentágono:
$A=\frac{b*h}{2} \Leftrightarrow A=\frac{l*\frac{l}{1,453}}{2} \Leftrightarrow A=\frac{l^2}{2,906} \Leftrightarrow A_g =5*\frac{l^2}{2,906} \Leftrightarrow A_g=1,72.l^2$
Onde: A_g

é a área do pentágono da pirâmide maior.

Então eu comparei a medida do lado do pentágono menor com a do pentágono maior, usando o Teorema de Tales:
$\frac{l_p}{l_g}=\frac{\frac{h}{2}}{h} \Leftrightarrow \frac{l_p}{l_g}=\frac{h}{2h} \Leftrightarrow \frac{l_p}{l_g}=\frac{1}{2} \Rightarrow l_p=\frac{l_g}{2}$
Onde: l_p

é o lado do pentágono da pirâmide menor e l_g

é o lado do pentágono da pirâmide maior
Obs. tenho dúvidas nessa parte!

Agora o cálculo da área do pentágono menor, usando a fórmula acima:
$A_p=1,72.l^2 \Leftrightarrow A_p=1,72.({\frac{l}{2}})^2 \Leftrightarrow A_p=\frac{1,72l^2}{4} \Leftrightarrow A_p=0,43l^2$

Agora a relação:
$\frac{A_p}{A_g}=\frac{0,43.l^2}{1,72.l^2} \Leftrightarrow \frac{A_p}{A_g}=\frac{1}{4}$

Isso quer dizer que a área do pentágono da pirâmide maior é 4 vezes a área do pentágono da pirâmide menor.

Acho que é isso...

Se alguém puder dar uma olhada e ver se está certo, principalmente na parte da relação entre o lado do maior e o lado do menor, agradeço.

por **MarceloFantini** » Ter Fev 21, 2012 20:25

Sua resposta está certa, mas muito grande e complicada de raciocinar num espaço de tempo curto. Além disso, você aproximou o valor da tangente, apesar que isto não influencia o resultado final.

por **Rosana Vieira** » Ter Fev 21, 2012 20:36

MickaelSantos escreveu:Primeiro eu dividi o pentágono da base em 5 triângulos e, chamando cada lado do pentágono de l, calculei a altura de cada triângulo assim:
$tg 36=\frac{\frac{l}{2}}{h}$ , onde l é o lado do triângulo e h a altura dele.

Desenvolvendo a expressão, cheguei em:
$0,7265=\frac{a}{2h} \Leftrightarrow 1,453h=a \Leftrightarrow h=\frac{a}{1,453}$

Depois calculei a área do triângulo e multipliquei por 5, que é a quantidade de triângulos do pentágono:
$A=\frac{b*h}{2} \Leftrightarrow A=\frac{l*\frac{l}{1,453}}{2} \Leftrightarrow A=\frac{l^2}{2,906} \Leftrightarrow A_g =5*\frac{l^2}{2,906} \Leftrightarrow A_g=1,72.l^2$
Onde: é a área do pentágono da pirâmide maior.

Então eu comparei a medida do lado do pentágono menor com a do pentágono maior, usando o Teorema de Tales:
$\frac{l_p}{l_g}=\frac{\frac{h}{2}}{h} \Leftrightarrow \frac{l_p}{l_g}=\frac{h}{2h} \Leftrightarrow \frac{l_p}{l_g}=\frac{1}{2} \Rightarrow l_p=\frac{l_g}{2}$
Onde: é o lado do pentágono da pirâmide menor e é o lado do pentágono da pirâmide maior
Obs. tenho dúvidas nessa parte!

Agora o cálculo da área do pentágono menor, usando a fórmula acima:
$A_p=1,72.l^2 \Leftrightarrow A_p=1,72.({\frac{l}{2}})^2 \Leftrightarrow A_p=\frac{1,72l^2}{4} \Leftrightarrow A_p=0,43l^2$

Agora a relação:
$\frac{A_p}{A_g}=\frac{0,43.l^2}{1,72.l^2} \Leftrightarrow \frac{A_p}{A_g}=\frac{1}{4}$

Isso quer dizer que a área do pentágono da pirâmide maior é 4 vezes a área do pentágono da pirâmide menor.

Acho que é isso...

Se alguém puder dar uma olhada e ver se está certo, principalmente na parte da relação entre o lado do maior e o lado do menor, agradeço.

Olá Mickael este exercício é a letra a ou b

por **MarceloFantini** » Ter Fev 21, 2012 20:39

Rosana, evite citar a resposta inteira, cite apenas as partes que te interessam. Pelo contexto você não percebeu? Olhe as questões e olhe qual razão que encontrou.

por **MickaelSantos** » Ter Fev 21, 2012 20:40

Obrigado pela resposta, Marcelo.

Mas será que tem outro jeito de pensar nela?

Será que posso pensar que como o lado do menor é a metade do lado do maior, e que a área varia com o quadrado da distância, e que a área do maior está ao dobro da distância da área do menor (em relação ao vértice), o valor da área do maior é 4 vezes a do menor?

Ufa!!! Precisei fazer do jeito mais complicado para entender o mais fácil. Gostei!

Mas a resposta longa é a mais indicada para uma aula de PÓS, pois mostra que você entende do assunto, certo?

Abr@ço...

por **MickaelSantos** » Ter Fev 21, 2012 20:42

Olá Mickael este exercício é a letra a ou b

Exercício 2, item a.

por **MarceloFantini** » Ter Fev 21, 2012 20:47

Se você lembrar do teorema da base média, o raciocínio também é rápido. Em cada face lateral, o lado do pentágono será base média deste, logo cada lado terá metade do valor do lado original. Daí, a área será um quarto da área original. A resposta para o volume segue.

Ser mais longo não necessariamente significa ser bom. Neste caso, muitas saídas rápidas existem sem grandes complicações, pensar no teorema de tales, usar trigonometria e manipulações algébricas longas podem induzir erros devido ao tamanho do processo.