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por Ge_dutra » Sáb Mar 16, 2013 21:47
Olá, estou com dificuldade na seguinte questão:
Seja V(-2,1) o vértice de uma parábola e seja d: x+2y-1=0 a equação da diretriz. Escrever a equação da parábola.
Bom, eu fiz um esboço do grafico e notei que a diretriz está inclinada em relação aos eixos X e Y, e consequentemente a parábola também está. Entretanto não sei determinar a posição dos eixos X' e Y' para saber em relação a qual ela está paralela e nem achar o parametro.
Poderiam me ajudar?
Desde já, agradeço
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Ge_dutra
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por e8group » Dom Mar 31, 2013 11:53
Vamos fazer mudança de coordenadas .Para isto vamos associar ao eixo
e
,respectivamente ,a reta paralela(
) e perpendicular(
) à reta diretriz (dada) tais que ambas retas passam pela a mesma origem O.
Sejam
retas dadas por :
Podemos escrever a reta diretriz (dada) da seguinte forma :
Sabemos que
e
.
Assim ,
Para construirmos o novo sistema de coordenadas
ortogonal precisaremos dos vetores
unitários e mutuamente ortogonais .
Tomando por exemplo
e substituindo-se
nas equações da reta
e
obtemos que os pontos
e
pertencem ,respectivamente ,à
e
(Observe que
pontos são pontos dos eixos coordenados do novo sistema de coordenadas ortogonal) .
Através dos pontos obtidos acima podemos construir os vetores
e
e tomar explcítamente
e
que são vetores mutuamente ortogonais e unitários .
Se
,devemos encontrar as coordenadas de P em relação ao novo sistema de coordenadas ,para isto ,devemos encontar
tais que
A equação acima é equivalente ao sistema linear
Ou ,
ou ainda
Em que
com U_1 ,U_2 matrizes colunas .
Multiplicando-se à esquerda por
(deixo para você concluir que
) ,obtemos :
.
Desta forma ,as coordenadas de
em relação ao novo sistema são dadas por
.
Assim ,a equação diretriz em relação ao novo sistema é dada por :
(por favor faças as contas) e o ponto
(vértice da parábola).
Agora seguiremos o seguinte o roteiro :
(1) Determinar o ponto
tal que
seja ortogonal a
.
(2) Através do ponto
teremos o ponto
que é o foco da parábola (pois ,F é simétrico ao ponto P' em relação a V' )
(3) Uma vez que temos o foco F e equação da reta diretriz ,se
é o conjunto de pontos tais que
,então ao desenvolver esta expressão econtraremos a equação associada ao sistema
da parábola .(OBS.: as coordenadas de X é em relação ao novo sistema )
Segue então :
(1) É fácil ver que
(Verifique !)
(2) Se o ponto F é simétrico de P' em relação a V' ,temos então que
(3)
.
Simplificando :
que é a equação da parábola em relação ao novo sistema . Para encontramos sua equação em relação ao sistema antigo ,substituiremos
por
e
por
.
Assim ,temos :
Simplificando :
que é aquação da parábola em relação ao sistema antigo .
OBS .: Infelizmente o texto ficou muito grande ,por este motivo omitir algumas manipulações algébricas e contas ,mas se permanecer dúvidas mande de volta . Convenhamos é um pouco "trabalhoso " este processo de mudança de coordenadas ,mas até que é divertido .
Vou anexar uma imagem da parábola com suas propriedades .
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e8group
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por Ge_dutra » Ter Abr 02, 2013 20:00
Convenhamos que é muito trabalhoso e nada divertido
Bom, mas eu não entendi a relação que você fez na resolução do passo (3) do roteiro...
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Ge_dutra
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por e8group » Ter Abr 02, 2013 21:29
No passo (3) do roteiro apenas apliquei a definição da parábola que é o lugar geométrico dos pontos
tais que
;onde as coordenadas do ponto
e do
(ponto este que é foco da parábola) e a reta diretriz
,todos estão associados ao novo sistema de coordenadas .Segue
.
Elevando ao quadrado ambos membros ,obtemos :
.
Ao desenvolvermos as expressões
e
observaremos que os termos
e
] que são comuns a ambas expressões se cancelaram (basta addcionar o simétrico[ou oposto] deles em ambos membros ) ,desta forma ficaremos com
.
Daí somando-se
em ambos membros , segue
ou
ou ainda
que é a equação da parábola em relação ao novo sistema de coordenadas ,significa que se
é um ponto da parábola, então
é solução da equação
,caso contrário não o é .
É isso .
Dúvidas ? Se sim ,retorne .
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e8group
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por Ge_dutra » Qua Abr 03, 2013 00:06
Sem dúvidas, obrigada por dispor de seu tempo. Achei que não obteria mais resposta neste tópico.
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Ge_dutra
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Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42
Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois
2°) Admitamos que
, seja verdadeira:
(hipótese da indução)
e provemos que
Temos: (Nessa parte)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55
Boa noite Fontelles.
Não sei se você está familiarizado com o
Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.
Ele dá uma equação, no caso:
E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:
Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que
seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para
.
Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.
Espero ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28
Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32
Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25
Boa tarde Fontelles!
Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.
O que temos que provar é isso:
, certo? O autor começou do primeiro membro:
Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:
Que é outra verdade. Agora, com certeza:
Agora, como
é
a
, e este por sua vez é sempre
que
, logo:
Inclusive, nunca é igual, sempre maior.
Espero (dessa vez) ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39
Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37
c.q.d. = como queriamos demonstrar =)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33
Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05
Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04
MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa.
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