[conica] achar a equação da parábola

por **Ge_dutra** » Sáb Mar 16, 2013 21:47

Olá, estou com dificuldade na seguinte questão:

Seja V(-2,1) o vértice de uma parábola e seja d: x+2y-1=0 a equação da diretriz. Escrever a equação da parábola.

Bom, eu fiz um esboço do grafico e notei que a diretriz está inclinada em relação aos eixos X e Y, e consequentemente a parábola também está. Entretanto não sei determinar a posição dos eixos X' e Y' para saber em relação a qual ela está paralela e nem achar o parametro.

Poderiam me ajudar?

Desde já, agradeço

por **e8group** » Dom Mar 31, 2013 11:53

Vamos fazer mudança de coordenadas .Para isto vamos associar ao eixo

e

,respectivamente ,a reta paralela( r_1

) e perpendicular( r_2

) à reta diretriz (dada) tais que ambas retas passam pela a mesma origem O.

Sejam r_1 ,r_2

retas dadas por :

r_1 : y = mx

Podemos escrever a reta diretriz (dada) da seguinte forma :

y = -x/2 +1/2

Sabemos que $r_1 \parell d \iff m = -1/2$ e $r_2 \perp d \iff m' \cdot(- 1/2 ) = - 1 \iff m' = 2$ .

Assim ,

r_1 : y = -x/2

Para construirmos o novo sistema de coordenadas $\{O,U_1,U_2\}$ ortogonal precisaremos dos vetores U_1 , U_2

unitários e mutuamente ortogonais .

Tomando por exemplo x = 2

e substituindo-se x=2

nas equações da reta r_1

e

obtemos que os pontos A =(2,-1)

e

pertencem ,respectivamente ,à r_1

e

(Observe que A ,B

pontos são pontos dos eixos coordenados do novo sistema de coordenadas ortogonal) .

Através dos pontos obtidos acima podemos construir os vetores $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$ e tomar explcítamente $U_1 = \frac{\overrightarrow{OA}}{||\overrightarrow{OA}||} = \left(\frac{2}{\sqrt{5}} , -\frac{1}{\sqrt{5}} \right )$ e $U_2 = \frac{\overrightarrow{OB}}{||\overrightarrow{OB}||} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}} , \frac{2}{\sqrt{5}} \right )$ que são vetores mutuamente ortogonais e unitários .

Se P = (x,y)

,devemos encontrar as coordenadas de P em relação ao novo sistema de coordenadas ,para isto ,devemos encontar x',y'

tais que

$x'U_1 +y'U_2 = \overrightarrow{OP}$

$x'\left(\frac{2}{\sqrt{5}} , -\frac{1}{\sqrt{5}} \right ) + y'\left(\frac{1}{\sqrt{5}} , \frac{2}{\sqrt{5}} \right ) = (x,y)$

A equação acima é equivalente ao sistema linear

$\begin{cases} \frac{2}{\sqrt{5}} x' + y'\frac{1}{\sqrt{5}}= x \\\frac{-1}{\sqrt{5}} x' + \frac{2}{\sqrt{5}}y' = y \end{cases}$

Ou ,

$\begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{-1}{\sqrt{5}}& \frac{2}{\sqrt{5}}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$

ou ainda

$H \cdot \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$

Em que

$H = \begin{bmatrix} U_1 & U_2 \end{bmatrix}$ com U_1 ,U_2 matrizes colunas .

Multiplicando-se à esquerda por H^t

(deixo para você concluir que $H^t \cdot H = I_2$ ) ,obtemos :

$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} = H^t \cdot \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}$ .

Desta forma ,as coordenadas de

em relação ao novo sistema são dadas por

$[P]_{\{O,U_1,U_2\}} = H^t \cdot \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\begin{bmatrix} 2x -y \\ x +2y\ \end{bmatrix}$ .

Assim ,a equação diretriz em relação ao novo sistema é dada por : $d': y' = \frac{1}{\sqrt{5}}$ (por favor faças as contas) e o ponto $V(- \sqrt{5},0)$ (vértice da parábola).

Agora seguiremos o seguinte o roteiro :

(1) Determinar o ponto

tal que

seja ortogonal a $O_{x'}$ .

(2) Através do ponto

teremos o ponto

que é o foco da parábola (pois ,F é simétrico ao ponto P' em relação a V' )

(3) Uma vez que temos o foco F e equação da reta diretriz ,se X = (x',y')

é o conjunto de pontos tais que d(X,F) = d(X,d')

,então ao desenvolver esta expressão econtraremos a equação associada ao sistema x'y'

da parábola .(OBS.: as coordenadas de X é em relação ao novo sistema )

Segue então :

(1) É fácil ver que $P' = (-\sqrt{5} ,\frac{1}{\sqrt{5}})$ (Verifique !)

(2) Se o ponto F é simétrico de P' em relação a V' ,temos então que $\overrightarrow{FP'} = 2\overrightarrow{VP'} \iff F = - 2\overrightarrow{VP'} + P = (-\sqrt{5},-\frac{1}{\sqrt{5}})$

(3) $d(X,F) = d(X,d') \iff (x' + \sqrt{5})^2 + (y' + \frac{1}{\sqrt{5}})^2 = (y' - \frac{1}{\sqrt{5}})^2$ .

Simplificando :

$(x' + \sqrt{5})^2 = - \frac{4}{\sqrt{5}} y'$ que é a equação da parábola em relação ao novo sistema . Para encontramos sua equação em relação ao sistema antigo ,substituiremos

por $\frac{2x-y}{\sqrt{5}}$ e

por $\frac{x+2y}{\sqrt{5}}$ .

Assim ,temos :

$(\frac{2x-y}{\sqrt{5}} + \sqrt{5})^2 = - \frac{4}{\sqrt{5}} (\frac{x+2y}{\sqrt{5}})$

Simplificando :

$\frac{4x^2}{5} - \frac{4xy}{5} + \frac{24x}{5} + \frac{y^2}{5} - \frac{2y}{5} + 5 = 0$ que é aquação da parábola em relação ao sistema antigo .

OBS .: Infelizmente o texto ficou muito grande ,por este motivo omitir algumas manipulações algébricas e contas ,mas se permanecer dúvidas mande de volta . Convenhamos é um pouco "trabalhoso " este processo de mudança de coordenadas ,mas até que é divertido .

Vou anexar uma imagem da parábola com suas propriedades .

por **Ge_dutra** » Ter Abr 02, 2013 20:00

Convenhamos que é muito trabalhoso e nada divertido

Bom, mas eu não entendi a relação que você fez na resolução do passo (3) do roteiro...

por **e8group** » Ter Abr 02, 2013 21:29

No passo (3) do roteiro apenas apliquei a definição da parábola que é o lugar geométrico dos pontos X = (x',y')

tais que

;onde as coordenadas do ponto

e do

(ponto este que é foco da parábola) e a reta diretriz

,todos estão associados ao novo sistema de coordenadas .Segue

$d(X,F) = d(X,d') \iff \sqrt{(x' + \sqrt{5})^2 + (y' + \frac{1}{\sqrt{5}})^2 } = \sqrt{(y' - \frac{1}{\sqrt{5}})^2}$ .

Elevando ao quadrado ambos membros ,obtemos :

$(x' + \sqrt{5})^2 + (y' + \frac{1}{\sqrt{5}})^2 = (y' - \frac{1}{\sqrt{5}})^2$ .

Ao desenvolvermos as expressões $(y' + \frac{1}{\sqrt{5}})^2$ e $(y' - \frac{1}{\sqrt{5}})^2$ observaremos que os termos y'^2

e $\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2$ ] que são comuns a ambas expressões se cancelaram (basta addcionar o simétrico[ou oposto] deles em ambos membros ) ,desta forma ficaremos com

$(x' + \sqrt{5})^2 + 2y' \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = - 2y' \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Daí somando-se $- 2y' \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$ em ambos membros , segue

$(x' + \sqrt{5})^2 + 2y' \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - 2y' \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = - 2y' \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - 2y' \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

ou $(x' + \sqrt{5})^2 + 0 = - 4y' \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

ou ainda $(*) (x' + \sqrt{5})^2 =- 4y' \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$ que é a equação da parábola em relação ao novo sistema de coordenadas ,significa que se P'(a,b)