PG 2

por **jose henrique** » Qui Set 30, 2010 08:17

Numa PA de termos positivos, o 1°, 5° e o 21° termo formam, nessa ordem uma pg. A razão dessa Pg é?

Eu não sei nem por onde começar está questão, tentei resolve-la com a propriedade da média geométrica mas não consegui. O que mais está me confundido é o fato de passar uma sequência pa para uma sequência PG

por **Molina** » Qui Set 30, 2010 18:06

Boa tarde.

Por definição, podemos escrever o 1°, 5° e 21° termos da PA da seguinte forma, respectivamente:

a_1=a_1

$a_{21}=a_1+20r$

E como esses termos formam uma PG, e sabemos que se eu pegar um termo da PG e dividir pelo termo anterior, nos fornece a razão, temos as seguintes equações:

$\frac{a_{21}}{a_5}=q \Rightarrow a_{21}=q*a_5$

e

$\frac{a_{5}}{a_1}=q \Rightarrow a_{5}=q*a_1$

Substituindo esses valores e ajustando ela melhor, você chegará em:

a_1(1+q)=r(4q-20)

e

Dividindo a de cima pela de baixo:

$\frac{a_1(1+q)}{a_1(1-q)}=\frac{r(4q-20)}{r(-4)}$

Note aqui que o a_1

e o

irão se anular. Multiplicando cruzado cairemos numa equação do 2° grau:

q^2-5q+4=0

onde as raízes são 4 e 1. Como se a razão de uma PG for 1 ela é constante, ficamos com q=4

.

Não fiz uma prova real para ve se esse é o valor correto. Então, caso você faça, poste aqui!

Bom estudo! :y:

por **jose henrique** » Qui Set 30, 2010 21:10

eu não consegui entender como vc chegou nestes valores:
a1 (1+q)=r(4q-20)

e

a1(1-q)=r(-4)

por **Molina** » Qui Set 30, 2010 21:51

jose henrique escreveu:eu não consegui entender como vc chegou nestes valores:
a1 (1+q)=r(4q-20)

e

a1(1-q)=r(-4)

Boa noite.

Vendo agora percebo que cometi um erro de sinal. Vou mostrar aqui a solução correta e os passos de como cheguei ao final (respondendo sua dúvida):

Usei o fato de $\frac{a_{21}}{a_5}=q \Rightarrow a_{21}=q*a_5$ , pois:

$a_{21}=q*a_5$

a_1+20r=q*(a_1+4r)

Note que na minha primeira resolução havia trocado o sinal antes da igualdade. Ao invés de negativo havia colocado positivo, MAS O CERTO É NEGATIVO!

Desse mesmo modo você chega a partir de $a_{5}=q*a_1$ em a_1(1-q)=r(-4)