Solução da inequação logarítmica

por **Marcela123** » Sáb Set 12, 2009 02:29

Gostaria de saber a solução da inequação

log1/3 (x-1) + log1/3 (3x-2)>=-2
obs:
o log ta na base 1/3.
Desde já agradeço!

por **Lucio Carvalho** » Sáb Set 12, 2009 08:25

Olá Marcela,
Tentarei, passo a passo, explicar uma das maneiras de resolver a inequação: ${log}_{\frac{1}{3}}(x-1)+{log}_{\frac{1}{3}}(3x-2)\geq-2$
Primeiramente devemos determinar o domínio. Sabemos que só podemos calcular o logarítmo de números positivos, assim:
Domínio = {x E IR: (x - 1) > 0 e (3x - 2) > 0}
$Domínio=]1,+\infty[$

Em seguida, vamos usar algumas propriedades dos logarítmos para simplificar a nossa inequação:
${log}_{\frac{1}{3}}(x-1)+{log}_{\frac{1}{3}}(3x-2)\geq-2$
${log}_{\frac{1}{3}}[(x-1).(3x-2)]\geq-2$
${log}_{\frac{1}{3}}(3{x}^{2}-5x+2)\geq{log}_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3} \right)}^{-2}$
${log}_{\frac{1}{3}}(3{x}^{2}-5x+2)\geq{log}_{\frac{1}{3}}(9)$

Agora, devemos lembrar que a função $f(x)={log}_{\frac{1}{3}}(x)$ é decrescente. Então:

$3{x}^{2}-5x+2\leq9$
$3{x}^{2}-5x-7\leq0$

Temos que achar agora as raízes da equação $3{x}^{2}-5x-7=0$ usando a fórmula resolvente. Assim teremos:

$x=\frac{5+\sqrt[]{109}}{6}$ ou $x=\frac{5-\sqrt[]{109}}{6}$

De acordo com o domínio, só podemos usar a primeira raíz: $x=\frac{5+\sqrt[]{109}}{6}$

Finalmente, vamos construir o quadro de sinais (ver anexo) e assim determinar o intervalo, dentro do nosso domínio, onde $3{x}^{2}-5x-7\leq0$

Portanto, de acordo com o quadro de sinais, a solução da nossa inequação é o intervalo: $]1, \frac{5+\sqrt[]{109}}{6}]$

Como sempre, devemos fazer a verificação. Por exemplo, escolhemos x = 2. Assim:
${log}_{\frac{1}{3}}(2-1)+{log}_{\frac{1}{3}}(3.2-1)\geq-2$
${log}_{\frac{1}{3}}(1)+{log}_{\frac{1}{3}}(5)\geq-2$
${log}_{\frac{1}{3}}(5)\geq-2$
$-1,46497\geq-2$

Verificamos assim que a solução da nossa inequação é o intervalo: $]1, \frac{5+\sqrt[]{109}}{6}]$

Espero ter ajudado e até breve!

Solução da inequação logarítmica

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