(PASES/2000) Função

por **Rafael16** » Qua Ago 15, 2012 12:54

Boa tarde pessoal,

(PASES/2000) Sejam as funções reais f, g e h definidas por $f(x)=\frac{3}{2(x+2)}$ $g(x) = \frac{1}{2x-4}$ e $h(x) = \frac{2}{x^2-4}$

Se S = {x ? R|f(x) = g(x) - h(x)}, então é CORRETO afirmar que o conjunto S:

Resposta: é o conjunto vazio

Resolução:

$\frac{3}{2(x+2)}=\frac{1}{2x-4}-\frac{2}{x^2-4}$ --> Tirando o MMC do segundo membro, fica

$\frac{3}{2(x+2)}=\frac{(x+2)-4}{2(x+2)(x-2)}$ --> Multiplicando cruzado

6(x+2)(x-2)=2(x+2)

$x = \frac{7}{3}$

Não seria o conjunto unitário?

por **MarceloFantini** » Qua Ago 15, 2012 13:06

Note que $\frac{3}{2(x+2)} = \frac{x-2}{2(x+2)(x-2)} = \frac{1}{2(x+2)}$ para $x \neq 2$ . Isto não é verdade para nenhum $x \in \mathbb{R} \backslash \{ 2\}$ , portanto é o conjunto vazio.

por **Rafael16** » Qua Ago 15, 2012 13:24

MarceloFantini escreveu: Isto não é verdade para nenhum $x \in \mathbb{R} \backslash \{ 2\}$ , portanto é o conjunto vazio.

Isso quer dizer que só vai ser absurdo o x = -2 para 2 das 3 funções? Por isso ser a solução o conjunto vazio?

por **MarceloFantini** » Qua Ago 15, 2012 14:03

Você não deve pensar nas funções isoladamente, mas sim com a condição do enunciado. Devemos encontrar os valores reais tais que f(x) = g(x) - h(x)

, e não existe nenhum. Olhe a expressão que eu cheguei e teste: tomemos x=0

. Então teremos $\frac{3}{2(0+2)} = \frac{1}{2(0+2)}$ , que é falso. Qualquer valor real que você substituir será falso. Lembre-se que $x \neq -2, 2$ pela existência das funções, logo não existem valores reais satisfazendo a igualdade.

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