Equação Algébrica

por **Carolziiinhaaah** » Qui Jun 03, 2010 17:30

Determinar a e b, de modo que a equação x^4 + 3x^3 + (3a - b)x^2 + (a-b-3)x + (2a+b+6)=0

admita duas e somente duas raízes nulas.

por **Mathmatematica** » Sáb Jun 05, 2010 04:12

Olá Carol. Vamos resolver essa questão.

Dos dados do enunciado, sabemos que a equação x^4+3x^3+(3a-b)x^2+(a-b-3)x+(2a+b+6)=0

tem duas de suas raízes iguais a zero. Isso significa que quando substituímos x=0

na equação proposta, esta deverá resultar em zero. Também sabemos que somente duas de suas raízes são zero. Se essa informação não nos fosse dada, poderíamos admitir que essa equação teria todas as suas raízes iguais a zero (lembre-se que se um número complexo é raiz de uma equação então o seu conjugado também é raiz dessa equação).

A equação proposta é então semelhante a uma equação do tipo k(x-A)(x-B)(x-C)(x-D)=0

, onde A, B, C e D são raízes da equação e $A,B,C,D\in\mathbb C$ . $k\in\mathbb R$ e é o termo que acompanha o termo de maior grau da equação. Da equação proposta no enunciado temos que k=1

. Como nós temos duas raízes nulas façamos C=D=0

. Teremos então a expressão x^2(x-A)(x-B)

que é semelhante à expressão x^4+3x^3+(3a-b)x^2+(a-b-3)x+(2a+b+6)

. Então:

$x^2(x-A)(x-B)\equiv x^4+3x^3+(3a-b)x^2+(a-b-3)x+(2a+b+6)$

$x^2[x^2-(A+B)x+AB]\equiv x^4+3x^3+(3a-b)x^2+(a-b-3)x+(2a+b+6)$

$x^4-(A+B)x^3+ABx^2\equiv x^4+3x^3+(3a-b)x^2+(a-b-3)x+(2a+b+6)$

Sendo assim teremos:

A+B=-3

Como só nos interessa saber os valores de a e b (e não das outras raízes), vamos resolver o sistema composto pelas últimas duas equações acima:

a-b-3=0

Somando as equações temos que: $3a+3=0\longrightarrow a=-1\Longrightarrow 2(-1)+b+6=0\longrightarrow b=-4$

Logo, para que a equação x^4+3x^3+(3a-b)x^2+(a-b-3)x+(2a+b+6)=0

tenha duas, e somente duas raízes nulas, a e b devem valer, respectivamente,

e

.