[Estruturas Algébricas] Operações

por **Pessoa Estranha** » Seg Set 15, 2014 17:22

Olá, pessoal! Preciso muito de ajuda.

Estudando a teoria de Operações, entendi que um composto x * y

pode satisfazer as propriedades associativa, comutativa, distributiva, ter elemento neutro, apresentar um conjunto de elementos simetrizáveis e um conjunto de elementos regulares. O problema é que, quando estava resolvendo um exercício que pedia para verificar se a operação admitia associativa, comutativa, elemento neutro, elemento simetrizável e elemento regular, só consegui mostrar que era associativa e comutativa. Pensando na parte de elemento neutro, fiquei na dúvida, apesar de que acho que é algo simples

. Podem, por favor, me ajudar? A operação é:

$E = {\Re}^{+}; x * y = \frac{x+y}{1+xy}$

Como faço para verificar que tem existe um elemento neutro para esta operação neste conjunto E?

Muito Obrigada!!

por **e8group** » Ter Set 16, 2014 10:56

Note que $x = \frac{x +0}{1+ x\cdot 0} = \frac{0+x}{1+0\cdot x} (\forall x \in E)$ .Ou seja, $0 \in E$ é t.q. $x*0 = 0*x = x (\forall x \in E)$ .

Poderia tbm proceder da seguinte forma , fazer o seguinte a rascunho em prol de verificar a exitência de eleementoo neutro

supor a em E t.q. a*x = x e fazer as contas e explicitar a . Depois formalize .

Espero que ajude .

por **Pessoa Estranha** » Ter Set 16, 2014 12:20

Olá!

Muito obrigada pela resposta!

Poderia, então, por favor, dar uma olhadinha no que eu escreveria?

"Verifique se

definida sobre E é associativa, comutativa, se admite elemento neutro e, neste caso, calcule os elementos simetrizáveis. calcule também os elementos regulares."
(a) $E = {\Re}^{+}; x * y = \frac{x + y}{1 + xy}$

- associativa e comutativa - ok;

- verificando se admite elemento neutro;

Observemos que $0\in{\Re}^{+}$ e que $\frac{x + 0}{1 + x.0} = \frac{x}{1} = x = \frac{0+x}{1+0.x} = \frac{x}{1}$ . Logo $0\in{\Re}^{+}$ satisfaz as condições de elemento neutro de uma operação e, portanto, é o elemento neutro dessa operação.
- verificando se há elementos simetrizáveis e, caso tenha, vamos determinar o conjunto dos simetrizáveis;

Observemos que esta operação é munida de elementos simetrizáveis, uma vez que o elemento neutro satisfaz suas condições e, os elementos da forma x´= -x

são os simétricos dos $x\in E$ , uma vez que $\frac{x + (-x)}{1+(x)(-x)} = 0 = e = \frac{(-x)+(x)}{1+(-x)(x)}$ . Logo, o conjunto dos simetrizáveis para esta operação em E é dado por ${U}_{*}({\Re}^{+}) = \left(x \in {\Re}^{+};x´ = -x; x´* x = e = x * x´ \right)$ .

- obtendo o conjunto dos elementos regulares;

Como esta operação é associativa e tem elemento neutro, segue, por um resultado, que ${U}_{*}({\Re}^{+}) \subset {R}_{*}({\Re}^{+})$ . Além disso, observemos que os elementos regulares são da forma $x\in{\Re}^{+}; x.x=1$ , uma vez que $\frac{\frac{1}{x} + y}{1 + \frac{1}{x}.y} = \frac{\frac{1}{x}+z}{1+\frac{1}{x}.z} \Rightarrow \left(\frac{1}{x}+y \right)\left(1+\frac{1}{x}z \right) = \left(1+\frac{1}{x}.y \right)\left(\frac{1}{x}+z \right)=$ $\frac{1}{x} + \frac{z}{xx} + y + \frac{yz}{x} = \frac{1}{x} + z + \frac{y}{xx} +\frac{yz}{x} \Rightarrow z + y + \frac{yz}{x} = z + y +\frac{yz}{x}$ , onde $x,y,z \in E$ . Logo, ${R}_{*}({\Re}^{+}) = \left({U}_{*}({\Re}^{+}) \cup (x\in{\Re}^{+}; x.x=1 \Rightarrow x = \frac{1}{x}) \right)$ é o conjunto dos elementos regulares de E na operação em questão.

Está certo? O que acha?