• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

simplificação

simplificação

Mensagempor jose henrique » Qui Fev 17, 2011 18:48

\frac{\sqrt[]{({x}^{2}-9)({x}^{2}+25)}}{x-3} =x+5 , para todo x \leq-3 ou x>3

eu posso \frac{\left|x-9 \right|\left|x+25 \right|}{x-3}=x+5 \Rightarrow fazer isso.


na verdade eu não estou entendo esta questão do x elevado ao quadrado dentro de uma raiz, eu sei que não posso simplificar simplesmente colocando como resposta o x visto que ele está elevado ao quadrado, mas quando tem uma expressão desse jeito o que devo fazer.
jose henrique
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 129
Registrado em: Qui Ago 12, 2010 20:32
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Área/Curso: outros
Andamento: formado

Re: simplificação

Mensagempor LuizAquino » Qui Fev 17, 2011 20:40

jose henrique escreveu:\frac{\sqrt{({x}^{2}-9)({x}^{2}+25)}}{x-3} =x+5 , para todo x \leq -3 ou x>3

\frac{\left|x-9 \right|\left|x+25 \right|}{x-3}=x+5 , eu posso fazer isso?

Não.

Se o objetivo for determinar o valor de x, então o correto é fazer:
\sqrt{({x}^{2}-9)({x}^{2}+25)} = (x-3)(x+5)

Elevar ambos os membros ao quadrado:
\left(\sqrt{({x}^{2}-9)({x}^{2}+25)}\right)^2 = \left[(x-3)(x+5)\right]^2

Como a quetão diz que x \leq -3 ou x>3, então o valor dentro da raiz que aparece no primeiro membro é necessariamante positivo. Portanto, podemos fazer a simplificação:
({x}^{2}-9)({x}^{2}+25) = \left[(x-3)(x+5)\right]^2

Lembrando do produto notável a^2 - b^2 = (a-b)(a+b), podemos fazer:
(x-3)(x+3)(x^2+25) = (x-3)^2(x+5)^2

Como x é diferente de 3 (já que x>3), então podemos dividir toda a equação por (x-3). Além disso, temos o produto notável (a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2:

(x+3)(x^2+25) = (x-3)(x^2+10x+25)

Agora, desenvolva essa equação para obter uma equação do 2º grau. A partir daí aplique a fórmula de Bháskara para achar as soluções.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: simplificação

Mensagempor jose henrique » Qui Fev 17, 2011 21:26

quando vc afirma que o valor dentro raiz no primeiro membro é necessáriamente positivo é levando em conta que x>3. caso fosse somente x<-3 teria solução a equação
jose henrique
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 129
Registrado em: Qui Ago 12, 2010 20:32
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Área/Curso: outros
Andamento: formado

Re: simplificação

Mensagempor jose henrique » Qui Fev 17, 2011 21:52

caso eu queira simplificar a seguinte expressão \frac{\sqrt[]{\left({x}^{2}-9 \right)\left({x}^{2}+25 \right)}}{x-3}
eu poderia elevar tanto o numerador quanto o denominador ao quadrado e para eu começar a simplificar.
jose henrique
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 129
Registrado em: Qui Ago 12, 2010 20:32
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Área/Curso: outros
Andamento: formado

Re: simplificação

Mensagempor LuizAquino » Qui Fev 17, 2011 22:08

jose henrique escreveu:quando vc afirma que o valor dentro raiz no primeiro membro é necessariamente positivo é levando em conta que x>3. caso fosse somente x<-3 teria solução a equação?


Sim. Faça um teste. Coloque, por exemplo, -4 (que é menor do que -3) na expressão com a raiz:

\sqrt{[(-4)^2-9 ][(-4)^{2}+25]} = \sqrt{7\cdot 41} = \sqrt{287}

Note que o valor dentro da raiz foi positivo.

jose henrique escreveu:caso eu queira simplificar a seguinte expressão \frac{\sqrt{\left({x}^{2}-9 \right)\left({x}^{2}+25 \right)}}{x-3}
eu poderia elevar tanto o numerador quanto o denominador ao quadrado e para eu começar a simplificar.

Não.

Se você tem apenas uma fração e eleva o numerador e o denominador ao quadrado, então você altera a fração. Por exemplo, \frac{2}{5} é diferente \frac{4}{25}. Basta efetuar a divisão que você irá encontrar \frac{2}{5} = 0,4 e \frac{4}{25} = 0,16.

Por outro lado, se você tem uma equação, então pode elevar ambos os membros da mesma ao quadrado e ela não se altera. Por exemplo, x+1=2 e (x+1)^2=4 ambas tem solução x=1.

Para ser mais exato, na segunda equação também poderíamos encontrar x=-3, mas isso não importa, pois perceba que tanto a primeira quanto a segunda equação tem uma solução em comum que é x=1.
Editado pela última vez por LuizAquino em Qui Fev 17, 2011 22:20, em um total de 1 vez.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: simplificação

Mensagempor jose henrique » Qui Fev 17, 2011 22:17

como eu poderia simplificar então
jose henrique
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 129
Registrado em: Qui Ago 12, 2010 20:32
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Área/Curso: outros
Andamento: formado

Re: simplificação

Mensagempor LuizAquino » Qui Fev 17, 2011 22:25

jose henrique escreveu:como eu poderia simplificar então


Não dá para fazer muita coisa nesse caso.

Uma simplificação poderia ser:
\frac{\sqrt{\left({x}^{2}-9 \right)\left({x}^{2}+25 \right)}}{x-3} = \frac{\sqrt{\left(x-3 \right)(x+3)\left({x}^{2}+25 \right)}}{\sqrt{(x-3)^2}}

=\sqrt{\frac{\left({x}+3\right)\left({x}^{2}+25 \right)}{x-3}}.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: simplificação

Mensagempor jose henrique » Qui Fev 17, 2011 22:42

só não entendi por que vc colocou o denominador dentro de uma raiz, uma vez que ele não estava
jose henrique
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 129
Registrado em: Qui Ago 12, 2010 20:32
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Área/Curso: outros
Andamento: formado

Re: simplificação

Mensagempor LuizAquino » Qui Fev 17, 2011 22:52

jose henrique escreveu:só não entendi por que vc colocou o denominador dentro de uma raiz, uma vez que ele não estava

Porque se temos \frac{\sqrt{x-3}}{x-3} não podemos simplificar (x-3) com (x-3), pois um está dentro e ou outro está fora da raiz. Por outro lado, se fazemos \frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{(x-3)^2}} aí podemos efetuar a simplificação já que teremos algo como \sqrt{\frac{x-3}{(x-3)^2}} = \sqrt{\frac{1}{x-3}}.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: simplificação

Mensagempor jose henrique » Qui Fev 17, 2011 23:06

me desculpa perguntar, mas em qual regra eu posso me basear para resolver este tipo de questões, pois irei até procurar, pois com a sua resolução eu entendi o porquê da raiz do denominador, mas não compreendi como posso fazer isso sem afetar alguma regra.
jose henrique
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 129
Registrado em: Qui Ago 12, 2010 20:32
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Área/Curso: outros
Andamento: formado

Re: simplificação

Mensagempor LuizAquino » Qui Fev 17, 2011 23:31

jose henrique escreveu:me desculpa perguntar, mas em qual regra eu posso me basear para resolver este tipo de questões, pois irei até procurar, pois com a sua resolução eu entendi o porquê da raiz do denominador, mas não compreendi como posso fazer isso sem afetar alguma regra.


Para executar os passos de simplificação sem quebrar as "regras", primeiro você precisa conhecer todas as "regras", pois só assim saberá se está ou não quebrando alguma.

Para isso, você precisa começar a estudar as propriedades de potência, a estudar as propriedades de radiciação, a estudar os produtos notáveis e a estudar fatoração. Isto é, o que não falta é assunto para você estudar! :-D
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado


Voltar para Álgebra Elementar

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 1 visitante

 



Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D