equações trigonometricas

por **Rhayssa** » Qui Ago 27, 2009 00:20

GALERA PRECISO DE AJUDA! EMPAQUEI NESTA QUESTÃO AQUI:
QUANTOS VALORES DE X EXISTEM NO INTERVALO [0, 2 $\pi$ ], PARA OS QUAIS SENX + COSX = $\sqrt[]{\frac{2+\sqrt[]{3}}{2}}$ .
Já tentei de todas as formas, mas n estou conseguindo enxergar onde estou errando!
Helpeeeeeeeeeeeee-me!!

por **Lucio Carvalho** » Qui Ago 27, 2009 01:18

Olá Rhayssa,
Apresento em seguida uma das possíveis maneiras de resolução:
$senx+cosx=\sqrt[]{\frac{2+\sqrt[]{3}}{2}}$
${(senx+cosx)}^{2}=\frac{2+\sqrt[]{3}}{2}$
${(senx)}^{2}+2.senx.cosx+{(cosx)}^{2}=1+\frac{\sqrt[]{3}}{2}$
$1+2.senx.cosx=1+\frac{\sqrt[]{3}}{2}$
$2.senx.cosx=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$
$sen(2.x)=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$
$sen(2.x)=sen(\frac{\pi}{3})$
$(2.x)=(\frac{\pi}{3})+2.k.\pi$ ou $(2.x)=(\pi-\frac{\pi}{3})+2.k.\pi$
$x=(\frac{\pi}{6})+k.\pi$ ou $x=(\frac{2.\pi}{6})+k.\pi$

Como queremos soluções no intervalo $\left[0,2\pi \right]$

Assim, para k = 0: $x=\frac{\pi}{6}$ ; $x=\frac{\pi}{3}$

Espero ter ajudado e aguardo a opinião de outros participantes!

por **Elcioschin** » Qui Ago 27, 2009 12:18

Lúcio

Como ainda não sei usar o LaTeX, vou escrever direto e resolver por outro caminho:

senx + cosx = [V(2 + V3)]/V2 ----> O numerador é do tipo V(A + VB) = Vx + Vy para A = 2 e B = 3

x = [A + V(A² - B)]/2 ----> x = [2 + V(2² - 3)]/2 -----> x = 3/2

y = [A - V(A² - B)]/2 ----> y = [2 - V(2² - 3)]/2 -----> y = 1/2

Logo o numerador vale ----> V(2 + V3) = V(3/2) + V(1/2) ----> V(2 + V3) = V3/V2 + 1/V2

Substituindo na equação original ----> senx + cosx = [V3/V2 + 1/V2]/V2 ----> senx + cosx = V3/2 + 1/2

Temos duas soluções, na primeira volta (no primeiro quadrante):

I) senx = V3/2 e cosx = 1/2 ----> x = pi/3

II) senx = 1/2 e cosx = V3/2 ----> x = pi/6

Não podemos esquecer que, a raiz original pode ter tanto o sinal positivo quanto o sinal negativo.
Neste caso, poderíamos escrever também:

senx + cosx = - [V3/V2 + 1/V2]/V2 ----> senx + cosx = - V3/2 - 1/2

Neste caso, haveriam mais duas soluções, na primeira volta (no 3º quadrante):

III) senx = - V3/2 e cosx = - 1/2 -----> x = 4*pi/3

IV) cosx = - 1/2 e senx = - V3/2 -----> x = 7*pi/6

O que você acha?

por **Rhayssa** » Qui Ago 27, 2009 13:32

Muito obrigadaaaaaaa!
gente eu estava usando a primeira resolução, meu raciocínio foi esse tb, mas tava errando besteira e n tava enxergando o erro!
obrigda

por **Lucio Carvalho** » Qui Ago 27, 2009 22:56

Olá Elcioschin,
Gostei da tua resolução, mas tenho uma dúvida quando apresentas a (III) e (IV) soluções no 3º quadrante que eu também obteria se tivesse usado k =1. (Nota: usei apenas k = 0)

Considero que a soma de dois números negativos não poderá ser igual à raiz quadrada de um número positivo.

Se nos apresentarem, por exemplo: ${x}^{2}=4$ então sabemos que: x = 2 ou x = -2. Mas, se nos apresentarem: $x=\sqrt[]{4}$ então só poderemos dizer que x = 2.

Compreendeu a minha preocupação!

Aguardo uma opinião.

por **Elcioschin** » Sex Ago 28, 2009 00:05

Lúcio

Do ponto de vista puramente algébrico eu concordo.
Quanto ao problema trigonométrico proposto, as soluções negativas atendem.

Elcio

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