[AJUDA] Duvida de derivada trigonométrica

por **Erick Johnny** » Ter Mai 29, 2012 11:01

Bom dia srs.

Estou com duvida nesse seguinte exercício:

$\int_{}^{}=x sec3x^2 dx$

A maneira de fazer essa questão foi por substituição, isolando x do sec3x² ficando:

$\int_{}^{}=x (x (sec3x) dx$

dai tentei fazer por substituição, chamando sec3x de 'u', sabendo que sua derivada é: sec3x= 3sec3xtg3x. Desenvolvi mas não conseguir resolver a questão. Alguém pode me dar uma luz de como resolver isso?

Atenciosamente

Erick Johnny

por **LuizAquino** » Ter Mai 29, 2012 12:40

Erick Johnny escreveu:Estou com duvida nesse seguinte exercício:

$\int_{}^{}=x sec3x^2 dx$

A maneira de fazer essa questão foi por substituição, isolando x do sec3x² ficando:

$\int_{}^{}=x (x (sec3x) dx$

dai tentei fazer por substituição, chamando sec3x de 'u', sabendo que sua derivada é: sec3x= 3sec3xtg3x. Desenvolvi mas não conseguir resolver a questão. Alguém pode me dar uma luz de como resolver isso?

Você cometeu dois erros

O primeiro erro foi apenas um deslize na digitação. Você deveria ter escrito:

$\int x \sec 3x^2 \,dx$

Note que não há aquele "=" que você escreveu.

Já o segundo erro foi mais sério. Você não poderia "isolar o x" da secante como fez. Ou seja, não é verdade que $\sec 3x^2 = x\sec 3x$ .

Por exemplo, se você calcular o valor de $\sec 3\pi^2$ verá que é diferente do valor de $\pi \sec 3\pi$ .

Para resolver essa integral, basta fazer a substituição u = 3x^2

e $du = 6x\,dx$ (ou seja, $\frac{1}{6}\,du = x \,dx$ ). Nesse caso, temos que:

$\int x \sec 3x^2 \,dx = \int \frac{1}{6}\sec u \, du$

Agora tente concluir o exercício. Se você não conseguir terminar, então poste aqui até onde conseguiu avançar.

por **Erick Johnny** » Ter Mai 29, 2012 12:49

Obrigado Luiz,
Primeiro pelo erro, não tinha visto o erro de digitação. O segundo erro realmente foi gritante, sabia que saia por substituição mas achava que iria colocar a secante também.
Enfim, gostaria de saber se a resposta final seria:

$1/6\left(log\left|sec3x^2 + tg 3x^2 \right| + c\right)$

por **LuizAquino** » Ter Mai 29, 2012 13:37

Erick Johnny escreveu:Enfim, gostaria de saber se a resposta final seria:

$1/6\left(log\left|sec3x^2 + tg 3x^2 \right| + c\right)$

No Brasil, nós usamos a notação log para representar o logaritmo decimal (ou seja, o logaritmo na base 10). Para representar o logaritmo natural (ou seja, o logaritmo na base e), usamos a notação ln.

Além disso, do jeito que você escreveu note que irá aparecer a constante c/6. Você poderia escrever diferente, de modo a ficar apenas uma constante c.

Em resumo, a resposta adequada seria:

$\frac{1}{6}\ln \left|\sec 3x^2 + \,\textrm{tg}\,3x^2 \right| + c$

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