Limites

por **wadson leite** » Qua Out 12, 2011 15:53

estava estudando para minha prova de calculo nesta sexta e estou com dúvidas que acho que podem ser básicas, ou não...
por isso estou aqui postando minhas duas dúvidas por enquanto:
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^3-5x^7+10}{-x^6-x^5+1}$
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt[2]{x^2+1}}{3x+2}$

bom no primeiro caso eu comecei tentando divisão de polinômios, mas me enrolei..
aí tentei dividir o numerado e o denominador pelo fator de maior grau, no caso x^7; só que aí no denominador ficaria 0, já que todos os fatores iriam tender a 0;
briot rufini eu nem tentei e não sei nem como começar a fatorar esse negócio...

no segundo caso, tentei usar o conjugado, mas não cheguei em lugar nenhum e multiplicar por um fator igual a 1 tbm não deu em nada..
não sei o que fazer..
se eu conseguir entender esses dois casos, já é metade do caminho andado pra eu entender a lista que tenho que resolver..

obrigado

por **joaofonseca** » Qua Out 12, 2011 20:29

Intuitivamente digo-te que o primeiro exemplo tende para $+\infty$ .Basta observar que o grau do numerado é maior que o grau do denominador. Se o sinal negativo dos coeficientes de maior grau atrapalham, experimenta tira-los para fora, alterando os sinais dos restantes termos.

No segundo caso é necessário fazer uma nota prévia.Todos sabemos que $\sqrt{x^2}=\left | x \right |$ e que se $x\mapsto+\infty$ então podemo-nos limitar à parte positiva de $\left | x \right |$ , ou seja x.

Então:

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{3x+2}$

Agora dividimos o numerador por $\sqrt{x^2}$ e o denominador por x, pelas razões que indiquei antes.

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}{\frac{3x+2}{x}}{$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{3+\frac{2}{x}}{$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{1+0}}{3+0}{$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

por **wadson leite** » Qua Out 12, 2011 22:25

sim entendo que o numerador é de grau maior que o denominador, e entendo que tende a infinito, mas qual é o limite?
lembrando que não posso usar l'hospital e nem tabela.
eu acredito que tenha alguma forma de dividir o numerado pelo denominador ou então simplificar a expressão. e quanto ao segundo caso, muito obrigado pela resposta...
entendi onde eu estava errando..

por **LuizAquino** » Qua Out 12, 2011 22:42

wadson leite escreveu:sim entendo que o numerador é de grau maior que o denominador, e entendo que tende a infinito, mas qual é o limite?

Note que:

$\lim_{x\to +\infty}\frac{x^3-5x^7+10}{-x^6-x^5+1} = \lim_{x\to +\infty}\frac{\left(x^3-5x^7+10\right):x^7}{\left(-x^6-x^5+1\right):x^7}$

$= \lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x^4} - 5 + \frac{10}{x^7}}{-\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^7}}$

Quando $x\to +\infty$ , temos que o numerador dessa fração tende para -5, enquanto que o denominador tende para 0 (porém se aproximando por valores negativos). Desse modo, o resultado final será:

$\lim_{x\to +\infty}\frac{x^3-5x^7+10}{-x^6-x^5+1} = +\infty$

por **wadson leite** » Qua Out 12, 2011 23:39

obrigado.. agora entendi..

por **wadson leite** » Qui Out 13, 2011 09:54

joaofonseca escreveu:No segundo caso é necessário fazer uma nota prévia.Todos sabemos que $\sqrt{x^2}=\left | x \right |$ e que se $x\mapsto+\infty$ então podemo-nos limitar à parte positiva de $\left | x \right |$ , ou seja x.

Então:
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{3x+2}$

Agora dividimos o numerador por $\sqrt{x^2}$ e o denominador por x, pelas razões que indiquei antes.

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}{\frac{3x+2}{x}}{$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{3+\frac{2}{x}}{$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt{1+0}}{3+0}{$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

tá e se eu colocar tendendo a menos infinito posso usar a mesma analogia:
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{3x+2}$
e dividir o numerador por $\sqrt{x^2}$ e o denominador por -x
fazendo a equação ficar dessa forma:
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}{\frac{3x+2}{-x}}{$
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{-3-\frac{2}{x}}{$
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt{1+0}}{-3-0}{$
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{-1}{3}=\frac{-1}{3}$ estaria certo?

por **wadson leite** » Sex Out 14, 2011 16:39

ninguém???

por **joaofonseca** » Sex Out 21, 2011 10:35

Fazendo a mesma analogia, claro.
Repara que a função modulo/valor absoluto, pode ser defenida por ramos da seguinte forma:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} -x, & x< 0 & \\ &\\ x,& x\geq 0 & \end{matrix}\right$

por **wadson leite** » Sex Out 21, 2011 11:28

obrigado, joão

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