[Álgebra linear]Idempotência

por **matheus franca** » Qui Jan 19, 2017 17:28

Mostre que um operador F ? L(V ) ´e idempotente se e somente se I ? F for
idempotente.

por **adauto martins** » Dom Jan 22, 2017 08:08

aqui temos uma implicaçao com reciproca,vamos la:
$(\Rightarrow)$ por hipotese temos q. $F(0)F={F}^{2}=F$ ,onde (0)

é a operaçao de composiçao de operadores...temos q. mostrar q. se

é idempotente,entao I-F

tbem o é.
de fato,
$(I-F)(0)(I-F)={(I-F)}^{2}={I}^{2}-{F}^{2}$ ,como

é idempotente,ou seja ${I}^{2}=I$ ,temos q.
$(I-F)(0)(I-F)={I}^{2}-{F}^{2}=I-F...$
$(\Leftarrow)$ ,ou seja I-F

é idempotente,entao

é idempotente...
de fato,
do desenvolvimento acima teremos:
$(I-F)(0)(I-F)={I}^{2}-{F}^{2}=I-F$ $\Rightarrow {F}^{2}=F...$
exercicio:
mostre q.

é idempotente,logo F(0)(F(0)...(0)F)=F...