Integral com Raiz de polinômio no denominador

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Integral com Raiz de polinômio no denominador

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Integral com Raiz de polinômio no denominador

Mensagempor sandermec » Qui Jul 24, 2014 02:42

Sei que para muitos isso pode parecer simples, mas para mim ta um verdadeiro salve-se quem puder...
a expressão que tenho que integrar é a seguinte:

\int\frac{dx} {\sqrt{x^2-b}}

já tentei de duas formas:

fazendo:
u=\sqrt{x^2-b}
e
u=x^2-b

para o primeiro, fiz:

\frac{du}{dx}=\frac{1}2.({x^2-b})^{\frac{-1}{2}}

dx=2\sqrt{x^2-b} . du

dx=2u.du

substituindo ficaria:

\int\frac{2u.du}{u}

No entanto acho que tem algo errado nessa expressão o qual não sei o que é e não consigo mais resolver.

Para o segundo:

\frac{du}{dx}=2x.dx

dx=\frac{du}{2x}

Nesse caso eu não sei nem o que fazer pois tem um danado de um x sobrando.

Alguém, por favor me da uma ajuda.
Vlw, abraços!
sandermec
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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