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por chronoss » Seg Abr 22, 2013 20:16
3ª Fase: Determine o menor número primo positivo que divide x² + 5x + 23 para algum inteiro x .
Obs: Não estudei congruências ainda, tem como resolver de outros modos?
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chronoss
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por e8group » Seg Abr 22, 2013 21:22
Considere
,completando quadrados ,podemos reescrever
como
para quaisquer
.Assim ,é fácil ver que
em
.Mas ,como
inteiro ,calculando
e
,obtemos
que neste caso , o menor número primo positivo que divide
é o próprio 17 .
Tente concluir a parti daí .
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por chronoss » Seg Abr 22, 2013 23:22
A conclusão não está na ultima linha? Não vejo como acrescentar algo de relevante.
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por e8group » Ter Abr 23, 2013 11:15
A conclusão não está na última linha ,mas ela é importante (veremos porque).
Minha estimativa é que 17 seja o menor número primo positivo que divide
,será ?Como provar ?
Sugestões para a solução :
Suponha que exista
(dependendo de x) tal que
.Se provarmos que de fato existam
e que o produto deles é par, poderemos concluir que 17 é o menor número primo positivo que divide
(Por quê ?).É isto que vamos fazer .
O número
que é ponto de mínimo de
estar compreendido entre
e
e
(note que estes valores são raízes da equação
) .Assim ,tomando-se
e
,segue
.
O que acontece com o produto
se tomarmos
e
,o produto é sempre par (múltiplo de 2)?
Pense sobre isto .
OBS.: Há de ter outra formas de resolver este exercício .
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por chronoss » Ter Abr 23, 2013 14:38
Obrigado , vou pensar .
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por chronoss » Qui Jul 04, 2013 10:11
O raciocínio seria que como ( x + 2 )( x + 3 ) --> sempre par , 17 + par = impar , a função sempre adota valores impares logo ela não é divisível por 2 (primo)??
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por e8group » Qui Jul 04, 2013 19:00
Este exercício é interessante .Tenho uma nova idéia .Gostaria de opiniões dos demais usuários .Mas vamos resslatar algumas informações que temos sobre o exercício .Segue elas ...
Sabemos
,
temos sempre
um número par , ou seja ,
tem-se
um número impar.(Verifique !) .
Quanto a solução , pelo Teorema fundamental da aritmética ,sempre conseguimos números primos
tais que para cada
,
com
(Observe o item 2) .Assim , definido os números primos ,
.Agora pelo item (1) ,
, ou seja ,
. Logo ,
.Vemos então ,
para que
. Mas , o número
é impar e diferente que
,donde obtemos
.
Como os números
são primos , logo a decomposição
é a trival .Assim ,
.Se
,isto contraria a hipótese
.Caso fosse
,
só poderia ser
pois
,logo não existe
tal que
. Caso ,
.Segue ,
,mas isto implica
(por favor faça as contas) .Assim , fica evidente que
é uma contradição .Para
,segue
que não é possível determinar
para este caso (Observe as contas acima , basta trocar as letras
com
e manter as estruturas algébricas ) .Assim , só podemos ter a decomposição trivial para
.Assim , sendo , segue
logo o menor primo positivo que divide
é
.
Peço desculpas ,não conseguir organizar as idéias da forma que queria devido a falta de tempo .De qualquer forma espero que ajude .
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por e8group » Sex Jul 05, 2013 00:16
Boa noite .Minha solução está incompleta . Acabei esquecendo de analisar o caso em que
com
(pois ,se
então sempre
) .Neste caso ,
,logo podemos ter
.Além disso,falta analisar o caso em que
.Quando estiver disponível tentarei terminar esta questão .
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por e8group » Sex Jul 05, 2013 12:09
Bom dia .Mesmo após ter acrescentado aquelas informações pendentes na resolução ,ainda não estou satisfeito com a resolução .Vou continuar pensando sobre esta questão , assim que tiver melhores idéias postarei aqui ,infelizmente só não posso prometer a data pois tenho outras atividades a fazer.Entretanto ,fique à vontade para postar o que entendeu sobre a questão e também sobre como você pensou em desenvolver a mesma. A princípio sem provas , apenas verificando alguns valores inteiros para
,observei a função aplicada a estes valores sempre retornou como resposta um número primo .Se conseguimos provar isto(caso fosse verdade) ,ficaria fácil concluir que o menor primo positivo que divide
é o 17 já que o menor valor que a função assume é 17 que para a nossa sorte é primo .
Aguardo repostas .
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por chronoss » Dom Jul 07, 2013 14:31
Pensei no seguinte para verificar cada caso individualmente :
(1) A função pode ser expressa por : f(x) = ( x + 2 )( x + 3 ) + 17 , que também pode ser representada por : f(n) = 17 + n( n + 1 ) [ com n em função de x ] , que nada mais é que 17 + [ soma dos n primeiros números pares : 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n( n + 1 )] ; logo a função sempre adota valores ímpares .
(2) Agora considerando o seguinte teorema :
Se b1 e b2 deixam restos r1 e r2 na divisão por a , respectivamente , então:
b1 + b2 deixa o mesmo resto que r1 + r2 na divisão por a
b1 . b2 deixa o mesmo resto que r1 . r2 na divisão por a.
Analisaremos cada número primo menor que 17 para verificar se dividem a função .
3 | f(x) => 3 | f(n) => 3 | 17 + n( n + 1 ) ; seja : 17 = b1 , n( n + 1 ) = b2 onde concluímos pelo teorema que : 3 | f(n) se e somente se : a soma dos restos r1 e r2 , de b1 e b2 (respectivamente) , deixar resto 0 quando dividida por 3 , ou seja se : 3 | ( r1 + r2 ).
Os possíveis restos na divisão por 3 são : 0 , 1 , 2 .
17 deixa resto igual a 2 , quando dividido por 3 , logo r2 deve ser igual a 1 para que afirmação : 3 | f(n) seja verdadeira .
r2 = 1 , se e somente se : o produto dos restos r3 e r4 das de divisões de n e ( n + 1 ) por 3 for igual a 1 .
Fazendo uma verificação baseada no teorema apresentado :
n (n) + n(1) = 1 <--> r3 ( r3) + r3 ( 1 ) = 1 <--> (r3)² + r3 = 1 <--> (r3)² + r3 - 1 = 0 ; cujas raízes são : .
Que não é um resultado válido , pois sabemos que se n e 3 , então o resto r3 , da divisão de n por 3 , .
Provando que a afirmação : 3 | f(n) é falsa a afirmação 3 | f(x) também é falsa .
Após verificar de forma análoga os outros números primos menores que 17 : { 5 , 7 , 11 , 13 } , concluímos que 17 é o menor número primo que divide f(x) , para algum inteiro x .
Obs: No raciocínio usado foram considerados apenas os valores de x inteiros , pois o gráfico da função é uma parábola .
Ps : Santhiago , gostaria de sua ajuda e dos demais usuários para verificar se o raciocínio contém erros , inconsistência ou escassez de informação . E por favor não riam se cometi algum erro ridiculamente tosco .
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por e8group » Dom Jul 07, 2013 17:42
Na minha opinião sua solução está globalmente correta,vamos ver o que os demais usuários do fórum acham.Se permite-me ,gostaria de palpitar novamente,desta vez vou incluir seu raciocínio na minha resolução .
Consideremos
o subconjunto do conjunto dos números primos impares.Suponhamos que para cada
ou
inteiro (pois a função
não é injetiva ,para cada
inteiro existe algum
inteiro tal que
) conseguimos números (dependendo de
) primos
tal que o número composto
pode ser reescrito como
.Assim , sendo
. Segue ,
.Além disso ,para cada
, temos
.Ou seja ,
.
Vemos então que se
divide
tem-se necessariamente
(Por quê ? ) .Agora suponhamos
.Pela infinitude dos números primos conseguimos números primos impares distintos dos
tais que eles dividem f(x).Assim se
podemos supor que
e utilizar o item proposto por você (2) " ...Agora considerando o seguinte teorema : ..." em diante para concluir que
necessariamente é estritamente maior que 17 .
Editado pela última vez por
e8group em Seg Jul 08, 2013 17:57, em um total de 1 vez.
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por e8group » Dom Jul 07, 2013 18:02
OBS.: Na verdade ,o produto
seria
o correto que de forma compacta é :
.
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por chronoss » Seg Jul 08, 2013 17:24
Ainda estou tentando entender seu raciocínio , deste ponto : Além disso ,para cada m ... , em diante ficou meio confuso para mim.
Obs: No começo vc citou que a função é injetiva , mas a definição de função injetiva não seria justamente o contrário? E também para o produtório ser de números primos , x deveria ser maior que ( - 1 ) ou menor que ( - 4 ) , ou não??
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por e8group » Seg Jul 08, 2013 17:53
Tem razão . Na verdade queria dizer que ela não era injetora (assim basta analisar um subconjunto de seu dominío onde a função é injetiva ).Estar editado .Obrigado .
Note que ,
.
De forma análoga ,
(...)
.
Assim , podemos dizer que para escolha arbitrária de
em
temos :
ou de forma compacta conforme eu já postei .Utilizei esta introdução apenas para mostra que se alguns dos números primos da lista divide
então necessariamente ele é
. Aparti daí usei o fato da infinidade dos números primos para obtermos números primos que não está na lista (já postada) que divide
e então mostrar que tais números são necessariamente maiores que 17 (usando seu raciocínio) .
Em resumo , no fundo não fiz nada demais . Minha solução proposta difere da sua apenas na introdução ,o restante da questão é globalmente análoga a sua no meu ponto de vista .
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por e8group » Seg Jul 08, 2013 19:27
Correto .
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por chronoss » Seg Jul 08, 2013 19:57
Obrigado por toda a ajuda santhiago , toda a discussão foi bastante agradável .
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por e8group » Seg Jul 08, 2013 21:26
Não há de quê .Se tiver mais questões aí para compartilhar, a comunidade a agradece .De qualquer forma,se você disse que esta questão foi resolvida usando relações de congruências, talvez seja melhor assim .
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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