álgebra

por **Eliana Fidelis** » Dom Out 24, 2010 13:52

2 + 4 +6 +8 + ......2n como descrever passagens necessárias para obter uma fórmula fechada para a soma..principio de indução eu não sei desenvolver isso me ajude por favor

por **Adriano Tavares** » Ter Mar 08, 2011 20:37

Olá,Eliana Fidelis.

Essa é a soma dos números pares, que pode ser calculada utilizando a soma dos termos de um PA.

a_n=2n

$S=\frac{(a_1+a_n).n}{2} \Rightarrow S=\frac{(2+2n).n}{2} \Rightarrow S=n^2+n$

Temos então o seguinte:

2+4+6+8+..2n=n^2+n

Precisamos verificar se a propriedade é verdadeira para n=1

$2=1^2+1 \Rightarrow 2=2$ , portanto é verdadeira.

Agora vamos supor que ela seja verdadeira para um certo

, $k \geq 1$ . Devemos provar que a propriedade é válida para k+1

.

Dessa maneira teremos:

hipótese --> 2+4+6+8+...2k=k^2+k

tese -->

Agora vamos partir do primeiro membro e chegar ao segundo.Note que :

2+4+6+8+...2k=k^2+k

, que é a hipótese

$k^2+k+2k+2=(k+1)^2+k+1 \Rightarrow k^2+2k+1+k+1=(k+1)^2+k+1 \Rightarrow (k+1)^2+k+1=(k+1)^2+k+1$

Dessa maneira tem-se que a propriedade é verdadeira para todo

natural maior ou igual a

.

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