Determinante

por **DanielRJ** » Sáb Set 11, 2010 18:47

Uma matriz $A_{3x3}=((A_{ij})$ ,não nula satisfaz A+A^t=0_3

, onde

transposta de A e 0_3

é a matriz quadrada de ordem 3 .sendo assim, o determinante de A vale:

a) zero
b)um
c)tres
d)nove
e) $a_{31}.a_{13}-a_{21}.a_{12}$

por **Molina** » Sáb Set 11, 2010 21:55

Boa noite, Daniel.

Note o seguinte:

As entradas $a_{ii}$ das Matrizes

e

são idênticas, pois estas entradas não mudam de posição quando eu faço a transposta de uma matriz de ordem 3.

Ou seja:

$a_{11}+a'_{11}=0 \Rightarrow a_{11}=-a'_{11}$

$a_{22}+a'_{22}=0 \Rightarrow a_{22}=-a'_{22}$

$a_{33}+a'_{33}=0 \Rightarrow a_{33}=-a'_{33}$

E o único valor possível para estas entradas é 0, já que é o único número é que igual ao seu inverso.

Assim, a matriz A é da forma:

$A= \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & 0 & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{pmatrix}$

e seu determinante é 0.

:y:

por **DanielRJ** » Sáb Set 11, 2010 22:02

nuss. questão legalzinha valeu ae.!

por **Douglasm** » Sáb Set 11, 2010 22:14

A resposta é realmente zero, mas acho que o Molina esqueceu de um detalhe. Por conta da relação entre elas citada, sabemos que:

$a_{12} = - a_{21}$

$a_{13} = - a_{31}$

$a_{23} = - a_{32}$

A matriz A está na forma:

$\begin{vmatrix}{0 & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0}\end{vmatrix}$

Agora podemos realmente ver que o determinante é igual a zero.

por **DanielRJ** » Dom Set 12, 2010 12:56

Douglasm escreveu:A resposta é realmente zero, mas acho que o Molina esqueceu de um detalhe. Por conta da relação entre elas citada, sabemos que:

$a_{12} = - a_{21}$

$a_{13} = - a_{31}$

$a_{23} = - a_{32}$

A matriz A está na forma:

$\begin{vmatrix}{0 & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0}\end{vmatrix}$

Agora podemos realmente ver que o determinante é igual a zero.

Valeu douglas entendi perfeitamente mais uma caracteristica da matriz ela é Anti-Simetrica. xD