IME-96 Função periódica

por **Balanar** » Sáb Ago 07, 2010 17:58

IME-96

Seja f uma função real tal que $\forall$ a $\in$ $\Re$

$f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt[]{f(x)-{\left[ f(x) \right]}^{2}}}$ , f é periódica?

Justifique:

Resposta:
f é periódica de período 2a.

por **Douglasm** » Sáb Ago 28, 2010 17:02

Para que uma função seja periódica, deve ser válida a seguinte igualdade:

$f(x+P) = f(x) \;\mbox{(P = periodo)}$

Temos, portanto, que tentar expressar a função desejada do modo acima. Começaremos organizando-a de outro modo:

$f(x+a) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - [f(x)]^2} \;\therefore$

$\left[f(x+a) - \frac{1}{2}\right]^2 = f(x) - [f(x)]^2 \;\therefore$

$\left[f(x+a) - \frac{1}{2}\right]^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + f(x) - [f(x)]^2 \;\therefore$

$\left[f(x+a) - \frac{1}{2}\right]^2 = \frac{1}{4} - \left[f(x) - \frac{1}{2}\right]^2 \;\fbox{1}$

Para facilitar, vamos fazer a seguinte substituição:

$g(x) = f(x) - \frac{1}{2}\;\therefore$

$\left[g(x+a)\right]^2 = \frac{1}{4} - \left[g(x)\right]^2$

Se agora considerarmos a função para x = x + a, teremos:

$\left[g(x+2a)\right]^2 = \frac{1}{4} - \left[g(x + a)\right]^2 \;\therefore$

$\left[g(x+2a)\right]^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \left[g(x)\right]^2 \;\therefore$

$\left[g(x+2a)\right]^2 = \left[g(x)\right]^2 \;\therefore$

g(x + 2a) = g(x)

Para justificar o último passo, note (através de 1) que:

$\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 1$

Consequentemente:

$0 \leq g(x) \leq \frac{1}{2}$

Isso é o bastante para justificar que g(x+2a) = g(x). Como g(x) = f(x) - 1/2 , analisando graficamente, notamos que o termo -1/2 só desloca o gráfico de f(x) sem alterar sua forma, tampouco sua periodicidade. Demonstramos então que f(x) é uma função periódica cujo período é 2a.