geometria analitica ponto equidistante

por **jeffersonricardo** » Seg Ago 16, 2010 17:18

determine o ponto equidistante de A(1,7), B(8,6), C(7,-1).

ja tentei fazer usando a formula e não consequir me ajudem

por **Douglasm** » Seg Ago 16, 2010 17:44

Olá Jefferson. Se os pontos são equidistantes de um determinado ponto P sabemos que:

$D_{AP}^2 = D_{BP}^2 = D_{CP}^2$

A partir daí vamos comparar as distâncias entre diferentes pontos, a fim de encontrarmos duas equações distintas que relacionem as coordenadas de P. Começaremos comparando $D_{AP}$ com $D_{BP}$ :

$(1 - x_p)^2 + (7 - y_p)^2 = (8 - x_p)^2 + (6 - y_p)^2 \;\therefore$

1 - 2x_p + x_p^2 + 49 - 14y_p + y_p^2 = 64 - 16x_p + x_p^2 + 36 - 12y_p + y_p^2

1 - 2x_p + x_p^2 + 49 - 14y_p + y_p^2 = 64 - 16x_p + x_p^2 + 36 - 12y_p + y_p^2

$14 x_p - 2 y_p = 50 \;\therefore$

7x_p - y_p = 25

E encontramos a nossa primeira equação. Agora compararemos $D_{AP}$ com $D_{CP}$

$(1 - x_p)^2 + (7 - y_p)^2 = (7 - x_p)^2 + (-1 - y_p)^2 \;\therefore$

$1 - 2x_p + x_p^2 + 49 - 14y_p + y_p^2 = 49 - 14x_p + x_p^2 + 1 + 2y_p + y_p^2 \;\therefore$

$12x_p = 16y_p \;\therefore$

3x_p = 4y_p

Isso já é o suficiente. Agora temos duas equações para duas incógnitas. Substituindo a segunda equação na primeira:

$7x_p - \frac{3}{4} x_p = 25 \;\therefore$

x_p = 4

Voltando a segunda equação:

$3.4 = 4y_p \;\therefore$

y_p = 3

Finalmente chegamos ao ponto equidistante de A, B e C, que é P(4,3).

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