X e Y do vértice

por **Luiza** » Ter Ago 10, 2010 19:52

Olá , preciso de uma ajuda nesses dois exercicios !

Obrigada .

1 ) Determine o valor positivo de m para que a equação mx² - ( m+1) x + 1 = 0 tenha uma raíz igual a quarta parte da outra.

2 ) Determine o valor de k para que a equação x² - ( k+1) x+1=0 tenha uma raíz igual ao dobro da outra .

por **Molina** » Qua Ago 18, 2010 14:24

Boa tarde, Luiza.

Luiza escreveu:1 ) Determine o valor positivo de m para que a equação mx² - ( m+1) x + 1 = 0 tenha uma raíz igual a quarta parte da outra.

Vamos lá.
Considerando que

e

são soluções da equação do 2º grau, pelo enunciado, temos que $x'=\frac{x''}{4}$ , pois é a quarta parte da outra.

Usando a propriedade conhecida como "Soma e Produto", implica que:

$x'+x''=\frac{m+1}{m}$
$x'*x''=\frac{1}{m}$

Mas,

$\frac{x''}{4}+x''=\frac{m+1}{m} \Rightarrow \frac{5x''}{4}=\frac{m+1}{m}$

$\frac{x''}{4}*x''=\frac{1}{m} \Rightarrow \frac{(x'')^2}{4}=\frac{1}{m} \Rightarrow x''=\frac{2}{\sqrt{m}}$

Substituindo a segunda equação na primeira:

$\frac{5*\frac{2}{\sqrt{m}}}{4}=\frac{m+1}{m}$

$\frac{10}{\sqrt{m}}=\frac{4m+4}{m}$

$\frac{100}{m}=\frac{16m^2+32m+16}{m^2}$

100m^2=16m^3+32m^2+16m

Resolvendo essa equação, a raiz positiva é m=4

Substituindo esse valor de m na equação original você verá que as raízes satisfazem a condição dada.

Achei esse procedimento longo demais, pode haver formas mais reduzidas de se fazer.

:y:

X e Y do vértice

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