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Relação raiz/polinômio

Relação raiz/polinômio

Mensagempor engel » Sáb Ago 07, 2010 11:31

Olá!

A questão diz: " Se a é uma raiz do polinômio p(x) e b é uma raiz do polinômio q(x), então:

a)p(b)/q(a) =1
b) p(a).q(b) =1
c) p(a)+q(b) =1
d) p(b).q(a) =0
e) p(a)+q(b)=0

Bom, a sendo raiz de p, o polinômio é divisível por a. Da mesma forma b. Então, não seria alternativa B, pois sendo divisível, o produto delas resultaria em 1??? Como desenvolvo uma relação entre as raízes e os polinômios?

Obrigada pela ajuda, Abraços!!!
engel
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Re: Relação raiz/polinômio

Mensagempor Molina » Sáb Ago 07, 2010 14:16

Boa tarde.

Você pode dar polinômios para p(x) e q(x) para ver qual o resultado que será obtido. Por exemplo, chame p(x)=x+1 e q(x)=x+2. Assim, as raízes serão respectivamente -1 e -2, que farão o papel de a e b. Mas, p(-1)=0 e p(-2)=0. O que você pode concluir com isso?

Isso foi um caso particular, mas podemos generalizar para se a é uma raiz do polinômio p(x) e b é uma raiz do polinômio q(x), então p(a)=0 e q(b)=0

Acredito que poderá assinalar mais de uma alternativa...

:y:
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Re: Relação raiz/polinômio

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Ago 07, 2010 16:47

Como a é raíz de P(x) e b é raíz de Q(x), então P(a) = 0 e Q(b) = 0. Vamos analisar as alternativas:

a) Não conhecemos P(b) e nem Q(a), logo não podemos afirmar que \frac{P(b)}{Q(a)} = 1.

b) P(a) \cdot Q(b) = 1 é falso, pois ambos são zero.

c) Idem pelo mesmo motivo acima.

d) Falso pelo mesmo motivo do item a.

e) Verdadeiro, pois P(a) + Q(b) = 0 + 0 = 0.

Molina, onde viu que haveria mais de uma alternativa?
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Re: Relação raiz/polinômio

Mensagempor Molina » Sáb Ago 07, 2010 16:53

Fala Fantini.

Juro ter lido na alternativa d) p(a).q(b) = 0 ao invés de p(b).q(a) = 0 que é o que consta. Rs.. :lol:


Valeu pelo toque!
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.