Questão de concurso militar

por **Jonatan** » Ter Ago 03, 2010 14:44

Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos ${z}_{1} = -x-2i$ , ${z}_{2} = -2i$ , ${z}_{3} = -2+3i$ , ${z}_{4} = x+yi$ , onde x e y são números reais quaisquer e ${i}^{2}=-1$ . Sobre o conjunto desses números complexos que atendem simultaneamente às condições:

I) Re(conjugado de ${z}_{1}$ . conjugado de ${z}_{2}$ ) $\leq$ Im(conjugado de ${z}_{1}$ . conjugado de ${z}_{2}$ )

II) $|{z}_{3} + {z}_{4}| \leq 2$

é correto afimar que:
a) representa uma região plana cuja área é menor que 6 unidades de área.
b) possui vários elementos que são números imaginários puros.
c) possui vários elementos que são números reais.
d) seu elemento z de menor módulo possível possui afixo que pertence à reta (r) 3x + 2y = 0

Gabarito: d)

Fazendo as condições I e II, cheguei no seguinte

Condição I) $x \leq 2$

Condição II) ${(-2+x)}^{2} + {(3+y)}^{2} \leq 4$
Ou seja, cheguei em um círculo de centro C =(2,-3) e Raio = 2

Fazendo então a representação da interseção de $x \leq 2$ e do círculo, cheguei em um semi-círculo.

A minha dúvida agora é saber se calculei as condições I e II corretamente e analisar cada uma das alternativas. De cara eu achei que a letra B estivesse correta, já que o semi-círculo corresponde a um conjunto de vários números complexos...

Alguém pode resolver para mim? Desde já, agradeço.
Jonatan.

por **MarceloFantini** » Qui Ago 05, 2010 17:48

Como você fez as contas, imagino que tenha chegado nisso também:

(i) $x \leq 2$
(ii) $(x-2)^2 + (y+3)^2 \leq 4$

Isso mostra que a região é uma circunferência de raio 2 e sua área cujo centro é (2,-3)

. Como o raio é dois, a área é $A = \pi r^2 = 4 \pi \mbox{u.a.}$ , que é maior que 6 unidades de área. Se você fizer o gráfico, verá que ele tangencia o eixo y em um ponto e não encosta numa no eixo x, portanto não tem mais de um elemento imaginário puro e não tem nenhum real. A única alternativa que sobra é a D. O menor módulo possível é sempre zero, e a equação de reta que passa pela origem (para caracterizar módulo) e passa pelo centro da circunferência (módulo 0) é a dada na alternativa.

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