Progressão

por **aline2010** » Sáb Jul 10, 2010 00:01

Os lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão r. Para este triângulo, a distância entre o incentro e o circuncentro é:
a)rV5/2
b)rV3/2
c)rV2/2
d)r
e)r/2

por **Tom** » Sáb Jul 10, 2010 03:03

Segue abaixo o triângulo retângulo esquemático para resolução:

Clique na imagem e ela ficará ampliada com ótima resolução!

Defina um sistema de coordenadas retangulares com origem no vértice do ângulo reto do triângulo retângulo, isto é, no ponto

.

Sejam

as medidas do menor lado do triângulo(No desenho a=AB

), a razão da progressão e o raio da circunferência inscrita no triângulo, respectivamente, temos:

As coordenadas do incentro, isto é, centro da circunferência inscrita no triângulo será D=(R;R)

Tracemos raios que partem do centro da circunferência inscrita para os pontos de tangência com o triângulo $\triangle ABC$ . Tracando também segmentos do centro para os vértices não retos, da congruência dos triângulos podemos fazer:

$a-R+a+r-R=a+2r\rightarrow a-r=2R$ e assim as coordenadas do incentro são : $D=(\frac{a-r}{2};\frac{a-r}{2})$

Sabemos que o circuncentro do triângulo é o encontro das mediatrizes relativas aos lados. Ora, a mediatriz relativa ao lado

é uma reta paralela ao lado

, portanto paralela ao eixo

. Assim, terá equação $y=\frac{a}{2}$ . Já a reta mediatriz do outro cateto será paralela ao cateto que mede

, isto é, será uma reta perpendicular ao eixo

, portanto de equação: $x=\frac{a+r}{2}$

Fazendo a interseção das duas retas, encontramos as coordenadas do circuncentro, a saber: $H=(\frac{a+r}{2};\frac{a}{2})$

Por fim, a distância entre o incentro

e o circuncentro

será:

$d=\sqrt{[\frac{a-r}{2}-(\frac{a+r}{2})]^2+(\frac{a-r}{2}-\frac{a}{2})^2}=\sqrt{r^2+\frac{r^2}{4}}=\sqrt{\frac{5r^2}{4}}=\frac{r\sqrt{5}}{2}$

Letra A

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