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Equação Algébrica (c/ relações de Girard)

Equação Algébrica (c/ relações de Girard)

Mensagempor Carolziiinhaaah » Sáb Jun 19, 2010 01:11

Determinar p e q de modo que a equação {x}^{4} + {px}^{3} + {2x}^{2} - x + q = 0, apresente duas raízes recíprocas entre si e as outras duas com soma igual a 1.

gabarito: p=-2 e q=0
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Re: Equação Algébrica (c/ relações de Girard)

Mensagempor Douglasm » Dom Jun 20, 2010 09:23

Esse problema, ao meu ver é mais teórico. Note que a definição de equação recíproca é:

*Dizemos que uma equação polinomial é recíproca se, quando o número k atende à equação, tivermos que 1/k também atende. (Matemática em Nível IME/ITA - Caio Guimarães)

Por conta disso, é fácil notar que esta é uma recíproca de 2ª espécie (coeficientes equidistantes do "centro" possuem módulos iguais e sinais opostos) e que, consequentemente:

p = -2

q = 0

Até a próxima.
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Re: Equação Algébrica (c/ relações de Girard)

Mensagempor Carolziiinhaaah » Seg Jun 21, 2010 19:19

Entendi sua explicação, Douglas.. mas não a resolução da questão. Entao, nesse caso, o q não deveria assumir o valor de -1, e o p tbm? :/
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Re: Equação Algébrica (c/ relações de Girard)

Mensagempor Douglasm » Seg Jun 21, 2010 22:31

Ola Carolzinha. Por favor desconsidere a minha resolução, eu assumi que a equação era de 2ª espécie, quando não poderia tê-lo feito. Sendo assim, fiz pelas relações de Girard e encontrei que ambas as soluções são válidas.

Inicialmente sabemos que:

\alpha + \beta = 1

x + \frac{1}{x} + \alpha + \beta = -p \; \therefore \; x + \frac{1}{x} + 1 = -p
(note que a soma das raízes é dada por \frac{-a_2}{a_1})

x \; . \; \frac{1}{x} \; . \;  \alpha \; . \; \beta = q \; \therefore \; \alpha \; . \; \beta = q

Agora vamos usar as somas de Girard que conhecemos, que são:

x.\frac{1}{x} + x.\alpha + x.\beta + \frac{\alpha}{x} + \frac{\beta}{x} + \alpha.\beta = \frac{a_3}{a_1}

1 + x(\alpha + \beta) + \frac{(\alpha + \beta)}{x} + \alpha.\beta = 2 \; \therefore

q-p = 2 \; \fbox{I}

x.\frac{1}{x}.\alpha + x.\frac{1}{x}.\beta + \alpha.\beta.x + \frac{\alpha.\beta}{x} = \frac{-a_4}{a_1}

\alpha + \beta + q(x + \frac{1}{x}) = 1 \; \therefore \; -q(p+1) = 0 \; \fbox{II} \; \therefore

Usando as relações I e II:

q = 0 \; e \; p = -2

q = 1 \;  e \; p = -1

Eu testei as soluções, e não encontrei motivo para descartar qualquer uma delas. Talvez seja interessante consultar seu professor. Até a próxima.
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59