(ITA) Determinar No de Raízes Reais

por **Carolziiinhaaah** » Sáb Jun 19, 2010 11:59

Seja P(x) um polinômio de grau 5, com coeficientes reais,
admitindo 2 e i como raízes. Se P(1)P(-1) < 0, então o número
de raízes reais de P(x) pertencentes ao intervalo ]-1, 1[ é:

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

por **Douglasm** » Sáb Jun 19, 2010 21:25

Olá Carolziiinhaaah. Para resolver esse problema, basta avaliarmos com bastante atenção os dados que temos:

Se 2 e i são raízes:

* -i também é raiz;

* $P(x) = a(x-2)(x-i)(x+i)(x-\alpha)(x-\beta)$

Podemos simplificar isso para:

$P(x) = a(x^3 -2x^2 + x - 2)(x-\alpha)(x-\beta)$

Fazendo P(1) e P(-1):

$P(1) = -2a(1-\alpha)(1-\beta)$

$P(-1) = -6a(-1-\alpha)(-1-\beta) = -6a(1+\alpha)(1+\beta)$

Observando a condição exposta no enunciado:

$P(1).P(-1)\; < \; 0 \; \therefore \; 12a^2(1-{\alpha}^2)(1-{\beta}^2)\; < \; 0$

Como 12a^2

é maior que zero, os outros dois fatores devem possuir sinais opostos. Logo:

$(1-{\alpha}^2)\;<\;0 \; \therefore \; 1\;<\;|\alpha| \; \therefore \; \alpha\;>\; 1 \; ou \; \alpha\;<\;-1$

$(1-{\beta}^2)\;>\;0 \; \therefore \; 1\;>\;|\beta| \; \therefore \; -1<\beta\;<\;1$

Assim demonstramos que só há uma raiz no intervalo ]-1 , 1[ .

Até a próxima.

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