Expressão em PG

por **Carolziiinhaaah** » Qua Jun 16, 2010 21:10

Simplifique a expressão:

$\frac{1 + {x}^{2} + {x}^{4} + {x}^{6} + ... + {x}^{2n}}{1 + x + {x}^{2} + {x}^{3} + ... + {x}^{n}}$

gabarito: $\frac{{x}^{n+1} + 1}{x+1}$

por **MarceloFantini** » Qua Jun 16, 2010 21:39

Soma de PG: $S = \frac{a_1 (q^n -1)}{q - 1}$ , supondo que x > 1

. Então temos: $\frac{\frac{ ((x^2)^n -1)}{x^2 - 1}}{\frac{ (x^n -1)}{x - 1}} \Rightarrow \frac{ ((x^2)^n -1)}{x^2 - 1} \cdot \frac{ (x -1)}{x^n - 1} = \frac{ (x^n -1)(x^n +1)}{(x - 1)(x+1)} \cdot \frac{ (x -1)}{x^n - 1}$

$\Rightarrow \frac{x^n+1}{x+1}$

Lembre-se que tudo isto é válido se e somente se x > 1. Caso contrário, a história seria bem diferente.

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