Integrais com raiz quadrada

por **SOPMod** » Ter Jun 15, 2010 01:11

Olá! Este é meu primeiro post nesse fórum.

Bem, meus problemas com integrais, em parte, vêm das belezuras com raiz quadrada. Eu simplesmente não consigo integrar uma expressão com raiz quadrada (exceto quando há um termo que multiplica ela, daí faço substituição). Já vi recomendarem o uso de tabelas de integrais, mas como eu decoro tudo aquilo? E pior, recomendaram usar as trigonométricas, mas como eu escolho a função de acordo com o exercício?

Bem, mando 2 exercícios exemplo:
$\int_{}^{}\sqrt[2]{3-{4x}^{2}}$

o outro:
$\int_{}^{}\sqrt[2]{9-(\left{x-1}\right)^{2}}$

eu tentei resolver usando substituição e integração por partes, mas não dá certo. Olhei no wolframalpha o resultado e como ele chegou lá, mas não entendi o critério usado para substituir os valores de x.

por **MarceloFantini** » Ter Jun 15, 2010 20:00

Eu aprendi assim:

$\sqrt {a^2 - x^2} \Rightarrow sen \theta$
$\sqrt {a^2 + x^2} \Rightarrow tg \theta$
$\sqrt {x^2 - a^2} \Rightarrow sec \theta$

por **MatheusAgostin** » Dom Jun 20, 2010 18:58

$\int_{}^{}\sqrt[]{3 - 4x^2)}dx$

Primeiramente, devemos deixar x² com coeficiente 1 para aplicarmos a substituição trigonométrica. Vamos fatorar por 4:

$\int_{}^{}\sqrt[]{4(\frac{3}{4} - x^2)}dx$

Ou seja,

$2\int_{}^{}\sqrt[]{(\frac{3}{4} - x^2)}dx$

Agora vamos aplicar a substituição trigonométrica.
$\emph{a}^2 = \frac{3}{4}$

$\emph{a} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}$

$x = asen\theta$

$x = \frac{\sqrt[]{3}}{2}sen\theta$

$dx = \frac{\sqrt[]{3}}{2}cos\theta d\theta$

Substituindo na integral,

$2\int_{}^{}\frac{\sqrt[]{3}}{2}\sqrt[]{(1 - sen^2\theta)}.\frac{\sqrt[]{3}}{2}cos\theta d\theta$

$\frac{3}{2}\int_{}^{}cos^2\theta d\theta$

Mas $cos^2\theta = \frac{1 + cos2\theta}{2}$

$\Rightarrow \frac{3}{2}\int_{}^{}\frac{1 + cos2\theta}{2}d\theta$

$= \frac{3}{4}\int_{}^{}d\theta + \frac{3}{4}\int_{}^{}cos2\thetad\theta$
$\frac{3}{4}\theta + \frac{3}{8}sen2\theta + C$
Agora devemos voltar em x. Como $x = \frac{\sqrt[]{3}}{2}sen\theta$ ,

$\theta = arcsen\frac{2x}{\sqrt[]{3}} = arcsen \frac{2\sqrt[]{3}x}{3}$

$sen2\theta = 2sen\theta cos\theta$

$sen^2\theta + cos^2\theta = 1$

$cos\theta = \sqrt[]{1 - sen^2\theta}$

Como $sen\theta = \frac{2\sqrt[]{3}x}{3}$

Então, $sen2\theta = \frac{4}{3}x \sqrt[]{3 - 4x^2}$

Resposta, $\int_{}^{}\sqrt[]{3 - 4x^2)}dx = \frac{3}{4}arcsen \frac{2\sqrt[]{3}x}{3} + \frac{1}{2}x \sqrt[]{3 - 4x^2} + C$

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