ajuda em matematica....problema a resolber

por **LUCKYSB** » Qua Jun 02, 2010 20:16

ITA-SP) Dentro de um tronco de pirâmide quadrangular regular, considera-se uma pirâmide regular cuja base é a base maior do tronco e cujo vértice é o centro da base menor do tronco. As arestas das bases medem a cm e 2acm. As áreas laterais do tronco e da pirâmide são iguais. Calcular a altura do tronco da pirâmide.

por **Douglasm** » Qua Jun 02, 2010 20:54

Olá LUCKYSB. Para resolver esse problema eu vou contar com a sua visão da figura em 3 dimensões, pois eu só vou postar os desenhos necessários para explicar os apótemas. Então vamos lá:

Primeiramente vamos a algumas considerações:

= aresta menor do tronco

= aresta maior do tronco

= altura

= apótema do tronco
L_p

= apótema da pirâmide
Al_t

= área lateral do tronco
Al_p

= área lateral da pirâmide

Para resolver o problema basta exprimirmos as áreas laterais em função de a e h. Comecemos com a área lateral do tronco:

: apótema tronco.jpg (6.13 KiB) Exibido 3364 vezes

$L_t = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}$

$Al_t = 4\left(\frac{2a+a}{2}\right)L_t = 6a\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}$

Para a pirâmide:

: apótema pirâmide.jpg (5.08 KiB) Exibido 3364 vezes

$L_p = \sqrt{h^2 + a^2}$

$Al_p = 4\left(\frac{2a \sqrt{h^2 + a^2}}{2}\right) = 4a\sqrt{h^2 + a^2}$

Igualando as duas áreas:

$Al_t = Al_p \; \therefore \; 6a\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} = 4a\sqrt{h^2 + a^2} \; \therefore$

$3\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} = 2\sqrt{h^2 + a^2}$

Elevamos ambos os membros ao quadrado:

$9h^2 + \frac{9a^2}{4} = 4h^2 + 4a^2 \; \therefore \; h^2 = \frac{7a^2}{20} \; \therefore$

$h = \frac{\sqrt{35}a}{10}\;cm$

Até a próxima.