Equações Irracionais

por **Nmdm** » Seg Mai 24, 2010 12:29

Como resolver essa equação x2 + x +?(x2 + x + 10) =10 ?
Resp: {-3,2}
Já tentei resolver várias vezes, mas sempre chego numa eq. de 4 grau e não consigo resolver.
Me ajudem, por favor!!!

por **Douglasm** » Seg Mai 24, 2010 13:52

Olá Nmdm. Para resolver essa equação, é conveniente usar uma substituição. Façamos:

$x^2 + x = y \; \therefore \; x^2 + x + \sqrt{x^2 + x + 10} = 10 \; \therefore \; y + \sqrt{y + 10} = 10$

Agora podemos elevar os dois membros ao quadrado e resolver para y:

$(\sqrt{y + 10})^2 = (10 - y)^2 \; \therefore \; y^2 - 21y + 90 = 0$

Essa nova equação tem raízes:

y=6

Mas notemos que a primeira equação, $y + \sqrt{y + 10} = 10$ , é uma equação do primeiro grau e, portanto, apresenta apenas uma raiz. Ao substituirmos ambos os valores, encontramos que a única raiz é 6. Veja só:

$6 + \sqrt{6 + 10} = 10 \; \therefore \; 10 = 10$

$15 + \sqrt{15 + 10} = 10 \; \therefore \; 20 = 10 \; \rightarrow \; FALSO$

Agora é só fazermos a substituição:

$y = x^2 + x \; \therefore \; x^2 + x - 6 = 0 \; \therefore \; x = -3 \; ou \; x = 2$

Até a próxima.

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