Dúvida Questão de Lógica

[RJ1572]

Tês amigas decidiram organizar um desafio para definir qual delas era a melhor nadadora. Foram realizadas n competições, sendo atribuidos, em cada uma delas, a, b e c pontos para, respctivamente, a primeira, a segunda e a terceira colocação, não havendo possibilidade de empate em qualquer competição. Ao final do desafio, a vencedora acumulou 46 pontos, a que ficou em segundo lugar obteve 38 pontos e a última colocada conseguiu 37 pontos. sendo a, b, c números inteiros e positivos, um valor possível de n é ???

Alguém pode me ajudar com a resolução?

Segundo o gabarito a resposta é 11.

Obrigado.

[Douglasm]

Olá RJ1572. Para resolver essa questão basta observarmos a divisão de pontos:

1ª colocada: x.a + y.b + z.c = 46 pontos
2ª colocada: x'.a + y'.b + z'.c = 38 pontos
3ª colocada: x''.a + y''.b + z''.c = 37 pontos

É evidente que (x + x' + x'') = n (assim como os respectivos y e z), pois existe um número de n de disputas em que só houve um vencedor. Deste modo, somando todas essas equações, encontramos:

n . (a + b + c) = 121

Agora devemos nos atentar ao fato de que n, assim como a, b e c, é um valor inteiro. Por conta disso, n é algum submúltiplo de 121. Fatorando 121, vemos que ele só pode ser fatorado como 11 x 11 ou 121 x 1. Sendo assim, n pode ser 1, 11 ou 121. Creio que n = 1 é descartado pelo problema, pois a rigor foram realizadas competições. No caso de n = 121, nós teríamos (a + b + c) = 1, o que contraria a afirmação inicial do problema que diz que a, b e c são inteiros e positivos. Desta forma, n = 11.

Até a próxima.