Função com proporcionalidade

por **Bernar** » Ter Mai 18, 2010 00:52

Um lago suporta no máximo 10.000 peixes. A taxa de crescimento da população de peixes é conjuntamente proporcional ao número presente deles e à diferença entre 10.000 e o número presente.
a) Se a taxa de crescimento for de 90 peixes por semana quando 1.000 peixes estão presentes, ache a taxa de crescimento como função do número presente.
b) Ache a taxa de crescimento quando houver 2.000 peixes.

Bom, x - > número presente . y -> taxa de crescimento.

então y = x ( 10.000 - x )
se x = 10.000, y = 90

Agora não sei mais o que faço. Acho que tem que ser colocado uma constante K. Mas eu nunca sei quando deve ser usado a constante K, alguém poderia me ajudar?

por **MarceloFantini** » Ter Mai 18, 2010 20:40

Se $y \propto x(10^4 -x)$ , isso implica que $\frac{y}{x(10^4-x)} = K$ . Usando os dados do enunciado, se y=90

, então

. Jogando na relação:

$\frac{90}{10^3(10^4-10^3)} = K \Rightarrow K = 10^{-5}$ .

Logo, a expressão é: $y = 10^{-5}x(10^4-x)$ .

No segundo supostamente imponha y = 2000 e faça a conta, mas tentei no wolframalpha e deu errado. Espero que alguém consiga esclarecer.

por **Douglasm** » Ter Mai 18, 2010 21:46

Fantini, você resolveu o problema e não colocou a resposta da última! Ele disse 2000 peixes (x) e não que a taxa de crescimento (y) era 2000. Logo:

$y = 10^{-5}.2000(10^4 - 2000) \; \therefore \; y = 160$

A taxa de crescimento na letra b é de 160 peixes por semana.

Até a próxima.