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isolamento de função

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Mensagempor jmario » Ter Mai 18, 2010 09:13

Dado o seguinte lambda
\lambda=\frac{{\alpha.x}^{\alpha-1}{y}^{1-\alpha}}{p}

A restrição orçamentária é dada por
xp+yq=m


Substituindo a função de demanda de x=\frac{\alpha.m}{p} e a função demanda y=\left(1-\alpha \right)\frac{m}{q}

Substituindo essas duas funções demandas no lambda abaixo
\lambda=\frac{{\alpha.x}^{\alpha-1}{y}^{1-\alpha}}{p}, fica assim:

\lambda=\frac{\alpha\left(\frac{\alpha.m}{p}\right)^{\alpha-1}\left[\left(1-\alpha \right)\frac{m}{q} \right]^{1-\alpha}}{p}

O resultado é esse
\lambda=\left(\frac{\alpha}{p}\right)^{\alpha} \left(\frac{1-\alpha}{q} \right)^{1-\alpha}

O problema é que eu não sei como se chega nessa solução.

Grato
José Mario
jmario
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Re: isolamento de função

Mensagempor MarceloFantini » Ter Mai 18, 2010 19:59

Continuando após a sua última linha, vou aplicar as potências:

\lambda=\frac{\frac{\alpha \cdot \alpha^{\alpha -1} \cdot m^{\alpha -1}}{p^{\alpha -1}} \cdot \frac {(1- \alpha)^{1- \alpha} \cdot m^{1- \alpha}}{q^{1- \alpha}}}{p}

No m, some as potências \alpha +1+(-1-\alpha) = 0, no \alpha também: 1+(\alpha -1)=\alpha, e finalmente no p: \alpha-1+1=\alpha, resultando em:

\lambda = \frac {\alpha^{\alpha} \cdot (1-\alpha)^{1-\alpha} } {p^{\alpha} \cdot q^{1-\alpha} }

Agrupando:

\lambda = \left( \frac{\alpha}{p} \right)^\alpha \left( \frac{(1-\alpha)}{q} \right)^{1-\alpha}

Qualquer dúvida comente.

P.S.: Cacete, meu LaTeX por algum motivo fica pequeno. -_-
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}