razões trigonométricas

por **userawzsszwa** » Sex Mai 07, 2010 00:45

Vejam só esta questão:
(UERJ) Dado que $\alpha =$ é a medida de um ângulo agudo com $\hspace{4} \text{sen} \hspace{4} \alpha = \frac{3}{5}$ , o valor da expressão $\hspace{4} \frac{\text{sen} \hspace{4} \alpha + \text{cos} \hspace{4} \alpha}{\text{tg} \hspace{4} \alpha}$ é:
$a) \frac{21}{20} \hspace{8} b) \frac{28}{15} \hspace{8} c) \frac{28}{75} \hspace{8} d) \frac{21}{100} \hspace{8} e) \frac{7}{25}$

minha resolução:

$\text{sen} \hspace{4} \alpha = \frac{3}{5}$

$\left( \text{sen} \hspace{4} \alpha \right) ^ 2 + \left( \text{cos} \hspace{4} \alpha \right) ^ 2 = 1 \longrightarrow \left( \frac{3}{5} \right) ^ 2 + \left( \text{cos} \hspace{4} \alpha \right) ^ 2 = 1 \longrightarrow \frac{9}{25} + \left( \text{cos} \hspace{4} \alpha \right) ^ 2 = 1$

$\left( \text{cos} \hspace{4} \alpha \right) ^ 2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \longrightarrow \text{cos} \hspace{4} \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\text{tg} \hspace{4} \alpha = \frac{\text{sen} \hspace{4} \alpha}{\text{cos} \hspace{4} \alpha} = \frac{3}{5} \div {\frac{4}{5} = \frac{3}{5} \times {\frac{5}{4} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$

$\frac{\text{sen} \hspace{4} \alpha + \text{cos} \hspace{4} \alpha}{\text{tg} \hspace{4} \alpha} = \left( \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \right) \div \frac{3}{4} = \frac{7}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{28}{15}$

Eu a resolvi e achei o resultado $\frac{28}{15}$ , letra b, mas para resolver esta questão eu tive de presumir que o ângulo $\hspace{4} \alpha$ pertence a um triângulo, e necessariamente um triângulo retângulo, pois usei o teorema de Pitágoras pra resolver a questão, daí me surgiram as dúvidas:

Somente os triângulos retângulos possuem razões trigonométricas como seno, co-seno e tangente?

Por que o coseno que poderia ser negativo ou positivo é necessariamente positivo?

Já que se usa Pitágoras na resolução desta questão o ângulo citado obrigatoriamente deve permanecer a um triângulo retângulo ou a um círculo trigonométrico?

por **Elcioschin** » Sex Mai 07, 2010 10:14

1) O enunciado diz: Dado que alfa é a medida de um ângulo AGUDO, o valor ....

Ângulo AGUDO é um ângulo MENOR do que 90º, logo 0º =< alfa < 90º SEMPRE.
Assim você não teve que presumir nada. Você deveria ter feito assim (Vou fazer alfa = A):

senA = 3/5 ----> sen²A = 9/25

sen²A + cos²A = 1 ----> 9/25 + cos²A = 1 ----> cos²A = 16/25 ----> cosA = + - 4/5 ---> ângulo agudo ---> cosA = + 4/5

tgA = senA/cosA ----> tgA = (3/5)/94/5) ---> tgA = 3/4

(senA + cosA)/tgA = (3/5 + 4/5)/(3/4) = (4/5)/(3/4) = 28/25 ----> Alternativa C

Note agora que, em momento algum no enunciado e na resolução se falou em TRIÂNGULO.
O enunciado diz apenas ÂNGULO

Assim, as razões trigonométricas da resolução se aplicam a qualquer ÂNGULO, e não a triângulos

Veja também que em momento algum eu usei o teorma de Pitágoras em triângulos . Uusei apenas a razão trigonométrica sen²A + cos² = 1 (esta relação é tirada de Pitágoras aplicada num círculo TRIGONOMÉTRICO)

por **userawzsszwa** » Sex Mai 07, 2010 13:42

Elcioschin obrigado pela resposta, mas eu acho que tem um trem de errado na sua equação, veja só:

$\text{sen} \hspace{4} \alpha = \frac{3}{5}$

$\left( \text{sen} \hspace{4} \alpha \right) ^ 2 + \left( \text{cos} \hspace{4} \alpha \right) ^ 2 = 1 \longrightarrow \left( \frac{3}{5} \right) ^ 2 + \left( \text{cos} \hspace{4} \alpha \right) ^ 2 = 1 \longrightarrow \frac{9}{25} + \left( \text{cos} \hspace{4} \alpha \right) ^ 2 = 1$

$\left( \text{cos} \hspace{4} \alpha \right) ^ 2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \longrightarrow \text{cos} \hspace{4} \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\text{tg} \hspace{4} \alpha = \frac{\text{sen} \hspace{4} \alpha}{\text{cos} \hspace{4} \alpha} = \frac{3}{5} \div {\frac{4}{5} = \frac{3}{5} \times {\frac{5}{4} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$

$\frac{\text{sen} \hspace{4} \alpha + \text{cos} \hspace{4} \alpha}{\text{tg} \hspace{4} \alpha} = \left( \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \right) \div \frac{3}{4} = \frac{7}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{28}{15}$

Mas enfim, eu ainda não estudei círculo trigonométrico elcioschin, mas este círculo trigonométrico então se trata de uma figura geométrica ou pelo que vi na internet somente de uma área imaginária pra se trabalhar com triângulos retângulos?

Por que o coseno que poderia ser negativo ou positivo é necessariamente positivo?

Já que se usa Pitágoras na resolução desta questão o ângulo citado obrigatoriamente deve permanecer a um triângulo retângulo ou a um círculo trigonométrico?

por **Elcioschin** » Sex Mai 07, 2010 15:24

Meu caro

É impossível você tenta resolver equações trigonométricas sem ter estudado a base que é constituída de círculo trigonométrico (definição de seno, cosseno, tangente, etc, quadrantes, arco duplo,, etc, etc, ettc.)

Leia de novo a minha mensagem:

1) Trigonometra = trigo + metria ----> trigo em grego significa ÂNGULO e metria significa MEDIDA

Isto significa que a trigonometria é o estudo dos ÂNGULOS e não dos triângulos (É óbvio que a trigometria é usada para calcular ângulos de triângulos, e também de quadriláteros, hexágonos,étc.)

2) Note que na minha solução eu disse que no enunciado citava-se um ângulo AGUDO. Isto significa que o ângulo A pertence ao 1º quadrante. No 1º quadrante senA >= 0 e cosÂ >= 0. Devido a isto pode-se afirmar, sem sombra de dúvidas, que, no seu problema cosA = + 4/5.

3) Vejo que você não entendeu a minha resposta original. Se você não endendeu o item 2 anterior sugiro que:

a) Não tente resolver problemas de trigonometria sem ter uma base sólida.

b) Estude a teoria sobre este assunto desde o ínicio, começando pelo estudo do círculo trigonométrico. Saliento que a matéria é vasta e trabalhosa.

por **userawzsszwa** » Sex Mai 07, 2010 19:15

Elcioschin obrigado pela atenção, mas tenho estas dúvidas:

Somente os triângulos retângulos possuem razões trigonométricas como seno, co-seno e tangente?

Já que se usa Pitágoras na resolução desta questão o ângulo citado obrigatoriamente deve permanecer a um triângulo retângulo ou a um círculo trigonométrico?

por **Elcioschin** » Sex Mai 07, 2010 19:33

Respondendo novamente:

1) Somente os triângulos retângulos possuem razões trigonométricas como seno, co-seno e tangente?

NÃO !!!! quem possui seno, cosseno e tangente são os ÂNGULOS (e não os triângulos como eu já disse anteriormente)

2) Já que se usa Pitágoras na resolução desta questão o ângulo citado obrigatoriamente deve permanecer a um triângulo retângulo ou a um círculo trigonométrico?

Você não usou Pitágoras na resolução desta questão: Você usou a RELAÇÃO TRIGONOMÉTRICA sen²A + cos²A = 1
(O que a contece é que, para se chegar nesta relação usa-se Pitágoras, a partir do círculo trigonométrico)

Aceite o meu conselho: ninguém conseguirá tirar as suas dúvidas sem você conhecer a matéria básica (círculo trigonométrico, etc, etc, etc.). Mesmo que alguém tente você não entenderá! Portanto estude primeiro a teoria!