[artigo] Uma dedução comentada da fórmula de Bhaskara

por **admin** » Qui Mai 15, 2008 15:44

Sendo

uma função do segundo grau, temos:
f(x) = ax^2+bx+c

Com $a,b,c \in \Re$ e $a\neq 0$ .

O objetivo é encontrar uma expressão que determine as raízes desta função.
Ou seja, quais os valores para onde:

Portanto, o que de fato buscamos é "isolar" x nesta equação:

Vamos dividir por os dois membros da equação.

$\frac{ax^2+bx+c}{a} = \frac{0}{a}$

$\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a} = \frac{0}{a}$

$1\cdot x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0$

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0$

Agora, subtrairemos $\frac{c}{a}$ :

$x^2+\frac{b}{a}x+\underbrace{\frac{c}{a} - \frac{c}{a}}_{=0} = 0 - \frac{c}{a}$

$x^2+\frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}$

Antes de prosseguir, lembre-se de um quadrado perfeito, onde:

Proveniente da propriedade distributiva $(a+b)\cdot (a+b)$ .

Vamos "criar" um quadrado perfeito no primeiro membro da equação.
Para facilitar a visualização, vamos reescrever o quadrado perfeito com outras letras:

Se chamarmos $\frac{b}{a}x = 2xz$ , assim:

$x^2+\underbrace{\frac{b}{a}x}_{=2xz} = - \frac{c}{a}$

Podemos somar e em seguida subtrair , sem alterarmos a equação, pois

$x^2+\underbrace{\frac{b}{a}x}_{=2xz} + z^2 - z^2 = - \frac{c}{a}$

De modo que assim podemos destacar um quadrado perfeito:

$\underbrace{x^2+\frac{b}{a}x+ z^2}_\text{quadrado perfeito} - z^2 = - \frac{c}{a}$

E fazendo a substituição da variável , lembrando que:
$\frac{b}{a}x = 2xz$

$\frac{b}{a} = 2z$

$z = \frac{b}{2a}$

$\underbrace{x^2+\frac{b}{a}x+ \left( \frac{b}{2a} \right)^2}_\text{quadrado perfeito} - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = - \frac{c}{a}$

Com o quadrado perfeito visualizado, vamos reescrever a equação:

$\underbrace{\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2}_\text{quadrado perfeito} - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = - \frac{c}{a}$

Somando $\left( \frac{b}{2a} \right)^2$ nos dois membros:

$\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}$

$\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{(2a)^2} - \frac{c}{a}$

$\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$

Deixando o segundo membro com o mesmo denominador (m.m.c.):

$\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2- 4ac}{4a^2}$

Extraindo a raiz quadrada dos dois membros:

$\sqrt{\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2} = \sqrt{\frac{b^2- 4ac}{4a^2}}$

Aqui, cuidado, note que:

$\sqrt{\alpha^2} = |\alpha|$

Pois como $\alpha \in \Re$ está elevado ao quadrado e a raiz deve ser positiva, eis o papel do módulo: garantir que o resultado da raiz seja positivo, mesmo que $\alpha$ seja negativo.

Lembrando a definição de módulo:
$|\alpha| = \left\{ \begin{matrix} \alpha & se & \alpha \geq 0 \\ -\alpha & se & \alpha < 0 \\ \end{matrix} \right.$

Veja em um exemplo o papel e importância do módulo, com $\alpha = -2:$
$\sqrt{(-2)^2} = |-2| = 2$

De fato, pois:
$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$

Veja o que aconteceria se não utilizássemos o módulo:
$\xcancel{ \begin{array}{l} \sqrt{\alpha^2} = \alpha \\ \\ \sqrt{(-2)^2} = -2 \end{array} }$
Não deve ocorrer no conjunto dos números reais.

Após estas observações, vamos utilizar módulo na simplificação da raiz:

$\left| x+ \frac{b}{2a} \right| = \sqrt{\frac{b^2- 4ac}{4a^2}}$

Separando as raízes do segundo membro, numerador e denominador:

$\left| x+ \frac{b}{2a} \right| = \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{\sqrt{4a^2}}$

Extraindo a raiz do denominador e novamente, o módulo aparece:

$\left| x+ \frac{b}{2a} \right| = \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{2|a|}$

Igualmente, também podemos escrever assim:

$\left| x+ \frac{b}{2a} \right| = \left| \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a} \right|$

E pela definição de módulo:

$x + \frac{b}{2a}=\left \{\begin{matrix} \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} & \text{se} & x + \frac{b}{2a} \geq 0 \\ \\ \frac{- \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} & \text{se} & x + \frac{b}{2a} < 0 \end{matrix}\right.$

Subtraindo $\frac{b}{2a}$ dos dois membros:

$x =\left \{\begin{matrix} - \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ \text{ou} \\ - \frac{b}{2a} + \left( \frac{- \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \end{matrix}\right.$

$x =\left \{\begin{matrix} \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ \text{ou} \\ \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{matrix}\right.$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a}$

(fórmula de Bhaskara)

Como nos reais o radicando desta raiz $\sqrt{b^2- 4ac}$ deve sempre ser positivo, ele é freqüentemente avaliado (estudo de sinal), chamado de discriminante (Delta):

$\Delta = b^2-4ac$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Portanto, as raízes de uma função do segundo grau , são obtidas pela expressão:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Sendo que:
Se $\Delta > 0$ , as duas raízes são reais e distintas;
Se $\Delta = 0$ , há um par de raízes reais e iguais;
Se $\Delta < 0$ , há um par de raízes complexas.

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