exercicio resolvido

por **adauto martins** » Sáb Ago 07, 2021 15:34

(ITA-1966)a equaçao x^7+4x^5+x^3+x+13=0

possue

a)uma raiz nula e demais positivas
b)pelo menos uma raiz negativa
c)so raizes complexas

por **adauto martins** » Sáb Ago 07, 2021 15:56

soluçao

vamos fazer aqui um estudo sobre as raizes desse polinomio

o polinomio possue raizes complexo-conjugadas,pois

pelo "criterio de huat-lacuna" (estude bem isso),teremos

${a}_{6}=0...e...{a}_{5}.{a}_{7}=4.1\succ 0={a}_{6}$

somente o apresentado acima ja garantiria raizes complexo-conjugadas,como tambem

${a}_{4}=0...e...{a}_{5}.{a}_{3}=4.1\succ 0={a}_{4} {a}_{2}=0...e...{a}_{3}.{a}_{1}=1.13\succ 0={a}_{2}$

como o grau do polinomio é impar ( $\partial 7$ ),entao ele podera ter no maximo 3 pares de raizes complexo-conjugadas,logo nao todas como afirma a letra c).
usando o "criterio de descartes" sobre as trocas de sinais dos coeficites,que pode ou nao afirmar sobre ter raizes,teriamos

$p(x)\rightarrow (+,+,+,+,+) p(-x)\rightarrow (-,-,-,-,+)$

a primeira nao houve variaçao de sinais,logo podemos nao ter raizes positivas.
a segunda ha uma troca de sinais,que nos possibilita a ter uma raiz negativa.veja estamos lidando com possibilidades,e nao certezas...entao pelo contexto do problema,a letra b)é a mais viavel,como tambem a letra a) afirma existir raiz nula,o que nao se verifica pois $p(0)=13\neq 0...$

ps-quando lidamos com os calculos de raizes de polinomio estamos lidando com possibilidades...

por **adauto martins** » Sáb Ago 07, 2021 17:57

ps-qdo digo sobre possibilidades,falo em criterios como "criterio de descartes","teorema de bolzano-weirstrass" e similares.
para calcular existem varios metodos como briot-rufini,calculo de raizes racionais(que é vago,mas resolve),metodos numericos como NEWTON-VIETE,NEWTON-RAPHSON e similares...obrigado

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