Limite Trigonométrico

por **MCordeiro** » Seg Mai 25, 2020 21:54

Resolva sem utilizar L'hopital

$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{sen(3x)}{1-2cos(x)}$

Não sei como começar a exercício.

por **adauto martins** » Ter Jun 09, 2020 10:14

vamos tomar
f(x)=sen3x/(1-2cosx)

vamos desenvolver o numerador

sen3x=sen(x+2x)=senx.cos2x+sen2x.cosx

usaremos as identidades trigonometricas

$cos2x=2{cosx}^{2}-1... sen2x=2senx.cosx$

prove-as!

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$sen3x=senx.(2{cosx}^{2}-1)+2senx.cosx.cosx= senx.(2{cosx}^{2}-1+{cosx}^{2})=senx.(4{cosx}^{2}-1) = senx.(2cosx+1).(2cos2x-1)$

voltemos em f(x)

f(x)=sen3x/(1-2cosx)=(senx.(2cosx+1).(2cosx-1)/(1-2cosx)

f(x)=sen3x/(1-2cosx)=(senx.(2cosx+1).(2cosx-1)/(1-2cosx)

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$\lim_{x\rightarrow \pi/3}-senx.(2cosx+1)= \lim_{x\rightarrow \pi/3}(-senx).\lim_{x\rightarrow \pi/3}(2cosx+1)= (-\sqrt[]{3}/2).2=-\sqrt[]{3}$
=-senx.(2cosx+1)[/tex]

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