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4y''+y'=0 qual relação recorrência? EDO em série de potência

4y''+y'=0 qual relação recorrência? EDO em série de potência

Mensagempor Felipe » Qua Mar 25, 2020 22:07

Alguém consegue explica o cálculo pra encontrar a relação recorrência da seguinte equação diferencial em série de potência? 4y''+y'=0
Obrigado
Felipe
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Re: 4y''+y'=0 qual relação recorrência? EDO em série de potê

Mensagempor adauto martins » Qui Abr 02, 2020 16:30

temos uma EDO homogenea(=0) de segunda ordem...
primeiro devemos achar y...entao
faz-se y'=p,e ambos dependo de um parametro t...
teremos
4.p'+p=0\Rightarrow p'/p=-1/4

\int_{}^{}(p'/p)=\int_{}^{}(-1/4)

ln\left|p \right|=(-1/4)t+c

\left|p \right|={e}^{(-1/4)t+c}={e}^{c}.{e}^{(-1/4)t}=k.{e}^{(-1/4)t}

como p é uma exponencial,logo p é positivo,teremos entao

p=k.{e}^{(-1/4)t}

logo,teremos

y'=p=k.{e}^{(-1/4)t}

dy/dt=k.{e}^{(-1/4)t}

dy=k.{e}^{(-1/4)t}dt

\int_{}^{}dy=\int_{}^{}(k.{e}^{(-1/4)t})dt

y=(-k/4){e}^{(-1/4)t}+c

como o problema nao traz condiçoes inicias de contorno,e o ponto onde expandir a serie...
vamos tomar p=0 , k=1 e c=0...

y=(-1/4).{e}^{(-1/4)t}

a expansao em serie de taylor y:

y=\sum_{n=0}^{\infty}({f}^{n}(0)/n!).x^{n}

y=(-1/4)+(x/16)-({x}^{2}/64)+({x}^{3}/(3!64)+...

y={(-1/4)}^{n+1}.\sum_{n=1}^{\infty}({x}^{n}/n!)
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Re: 4y''+y'=0 qual relação recorrência? EDO em série de potê

Mensagempor Felipe » Qui Abr 02, 2020 20:35

Obrigado... me esclareceu o calculo
Felipe
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Re: 4y''+y'=0 qual relação recorrência? EDO em série de potê

Mensagempor adauto martins » Dom Abr 05, 2020 11:14

forma correta de y:

y=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1/4)}^{n+1}.({x}^{n}/n!)
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.