Álgebra linear

por **Mirelavs222** » Qua Fev 26, 2020 21:20

2.mostre que o conjunto de combinações lineares das variáveis x e y é um espaço vetorial com operações usuais

Combinações lineares de x e y formam o conjunto dos elementos u = ax + by
A1 associativa u + (v + w) = (u + v) + w
ax + by + (cx + dy + ex + fy) = ax + by + cx + dy + ex + fy = (ax + by + cx + dy) + ex + fy

Alguém pode me ajudar? Gostaria de saber se estar correto, e quais passos devo seguir. ( Estou estudando por conta, e sou leiga)

por **adauto martins** » Seg Mar 02, 2020 17:57

um espaço vetorial definido sobre um corpo k,de escalares,deve satisfazer as condiçoes do operador soma(+)
e o operador multiplicativo(.) de seus elementos escalares.em nosso caso os reais.
dado V={ $u=ax+by=(a,b),a,b,x,y\in \Re$ }
entao
soma)
1)existe o elemanto neuto,da soma,o "zero",pois
$0=(0,0)=0x+0y\in V...$ e p/quaquer
$v\in V$
teremos
v+0=0

de fatos,pois
v+0=(a,b)+(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b)=v

2)existe o elemento simetrico da soma,pois
$u=(a,b),v=(-a,-b)\Rightarrow u+v=(a,b)+(-a,-b)= u+v=ax+by+(-a)x+(-b)y=(a+(-a))x+(b+(-b))y=0x+0y=(0,0)=0$
3)
é associativa em relaçao ao operador soma,
dados
$u,v,w \in V$

teremos
(u+v)+w=u+(v+w)

que foi o que vc fez...
4)é comutativa em relaçao ao operador soma,pois
dados
$u,v \in V$
temos
u+v=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+d)=v+u

produto

1)
existe o elemento unidade do operador multiplicativo,pois
dados
$u=(1,1),v=(a,b) \in V...1,a,b\in\Re$
temos
u.v=(1,1).(a,b)=(1.a,1.b)=(a,b)=v

2)existe o elemento inverso do operador multiplicativo,pois
dados
$u=(a,b),v=(1/a,1/b)\in V...a\neq0 \in\Re,b\neq0 \in\Re$
teremos
$u.v=(a,b).(1/a,1/b)=(a.(1/a),b.(1/b))=(1,1)\Rightarrow v$ é o elemento inverso multplicativo de u...
3)
é distributiva em relaçao a soma e multiplicativa por escalar,
dados
$k\in\Re,u,v\in V\Rightarrow k.(u+v)=k.u+k.v$
fica como exercicio...

por **adauto martins** » Ter Mar 03, 2020 12:29

uma correçao.a parte concernente ao operador produto,esta errada,pois a fiz considerando o produto de elementos de V,
que faz qdo o espaço vetorial ,é dito espaço vetorial com produto interno.em nosso o operador produto é de elementos de V,ditos vetores,com escalares pertencente ao corpo K(REAIS).entao o operador multiplicativo tera que satisfazer as seguintes
operaçoes:

a)
$k.(u+v)=k.u+k.v...k\in \Re,u,v\in V$
b)
$(k+p).u=k.u+p.u...k,p\in \Re,u\in V...$
c)
$(kp).v=k.(p.v)...k,p\in \Re,u\in V$
d)
$1.u=u...1\in \Re,u\in V$
ques sao faceis de se provar...
faremos a letra a) como exemplo...
$k\in\Re,u=(a,b),v=(c,d)\in V...a,b,c,d\in \Re k.(u+v)=k.((a,b)+(c,d))=k.((a+c),(b+d))= (k.(a+c),k.(b+d))=(ka+kc,kb+kd)=(ka,kb)+(kc+kd)=k(a,b)+k(d,c)=k.u+k.v$

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