algebra

por **adauto martins** » Dom Dez 29, 2019 18:13

uma algebra é definida por (S,+),onde S é um conjunto e "+" o operador soma dos elementos de S.
mostre que:
a)existe o operador multiplicativo " * ".
b)existe o elemento neutro da soma,e o elemento unidade do operador multiplicativo.
c)existe o elemento simetrico da soma e o elemento neutro multiplicativo.

por **adauto martins** » Dom Dez 29, 2019 18:50

a)
seja $a\in S$ ,entao pela definiçao da algebra,teremos:
$a + a \in S$
$(a + a)+a \in S$
.
.
.
$(((a + a)+a)+a)...)+ a\in S$
essa soma contada b vezes sera
$(((a + a)+a)+a)...)+ a)=a*b\in S$ ,logo
existe o operador " * ",dito multiplicativo em S.

b)

o elemento neutro da soma,tera que satisfazer a:
a+e=a

a*e=e

pela definiçao da algebra,teremos:
$(((a + a)+a)+a)...)+ a)\in S$ ,contado "e" vezes,e

$a*e=(((a + a)+a)+a)...)+ a)=e a+e=a+e*a=e\Rightarrow a+((((a + a)+a)+a)...)+ a)\in S$ ,logo
existe " $e\in S$
racionio analogo,mostra-se que existe o elemento unidade do operdor multiplicativo
que deve satisfazer a condiçao
a*u=a

(faça-o como exercicio)

c)

usando racionio analogo ao exposto acima termine-o!

por **adauto martins** » Seg Dez 30, 2019 12:11

ps-desconsidere a demonstraçao da letra b),pois esta ficou imprecisa,indeterminada...vale para mostrar que sempre existe um elemento em S,cuja soma esta em S.mas nao precisou o elemento que em nosso caso é o elemento neutro da soma.geralmente nos livros de algebra,esses elementos entram como definiçao dada pelo autor.mas sao de suma importancia para o desenvolver da teroria,em especifico,teoria dos numeros.quando eu tiver a forma precisa de mostrar tais elementos,eu a posto,no mais,obrigado...adauto martins

por **adauto martins** » Sex Jan 03, 2020 17:33

resolverei as letras b) e c) de forma muito elementar,mas concisa...

b)´

a+e=a

como $a \in S\Rightarrow a+e \in S\Rightarrow e\in S$

a*u=a

como $a \in S\Rightarrow a*u \in S\Rightarrow u\in S$

c)

a+b=e

como mostramos acima que existe o elemento neutro do operador soma "e",entao

$e \in S\Rightarrow a+b \in S\Rightarrow b\in S$
o inverso do operador multiplicativo fica como exercicio...

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