exerc.resolvido

por **adauto martins** » Dom Out 27, 2019 15:31

(ENE-escola nacional de engenharia da universidade do brasil,rj-exame de admissao 1955)
pesquisar os maximos e minimos da funçao $y=x.ln{x}^{2}$ .

por **adauto martins** » Dom Out 27, 2019 16:02

soluçao:

calcularemos a derivada de y=f(x) e iguala-la a zero.

$y'=x'.ln{x}^{2}+x.(ln{x}^{2})'=0$
usamos a "derivada do produto,e usaremos tambem a regra da cadeia,pois $ln{x}^{2}$
é funçao composta de lnx, ${x}^{2}$ ...

$y'=ln{x}^{2}+x.(ln{x}^{2})=ln{x}^{2}+x.(1/({x}^{2}).2x)=0 y'=ln{x}^{2}+ 2=0\Rightarrow 2.lnx=-2\Rightarrow lnx=-1\Rightarrow x={e}^{-1}...$

agora,vamos calcular a derivada segunda,calcula-la no ponto $x={e}^{-1}$

e verificar se é maximo ou minimo:

temos que:

$y'=ln{x}^{2}+x.(ln{x}^{2})$
logo:

$y''=(ln{x}^{2})'+(x.(ln{x}^{2})' y''=(1/{x}^{2}).2x+((ln{x}^{2}+2x.(1/{x}^{2}) y''=4x(1/{x}^{2})+ln{x}^{2}=(4/x)+2.lnx$

$y''({e}^{-1})=4/({e}^{-1})+2.ln{e}^{-1}\succ 0$

logo x é ponto de minimo...

por **adauto martins** » Dom Out 27, 2019 19:32

uma correçao:

a funçao lnx=-1

x admite duas soluçoes,pois no dominio de x,podemos ter:
$x\succ 0...ou...x\prec 0$
logo,teremos dois pontos criticos,a saber:

$x={e}^{-1}$
que mostramos ser ponto de minimo e,
$x=-{e}^{-1}$
que e´ ponto de maximo.fica como exercicio...
que é substituir na derivada segunda,ja calculada,e verificar que
$y''(-{e}^{-1})\prec 0...$